初中数学课程内容分布的国际比较研究
来源：UC论文网2016-05-29 17:09
摘要：
以中国、澳大利亚、美国、英国、法国、德国、韩国、新加坡、日本与俄罗斯10个国家现行的初 中数学教科书为研究对象，从“数与代数”、“图形与几何”与“统计与概率”三部分内
一、问题的提出
课程改革是教育改革的核心。纵观世界上历次课程改革，基本上常常以数学课程改革作为导火索或者突破口的，数学课程改革引领着基础教育课程改革。而数学课程内容的选择始终是数学课程改革中最基本的问题，毕竟“教什么”“学什么”远比“怎么教”“怎么学”更重要。数与代数、图形与几何、统计与概率是中小学数学教育的基本领域，如何恰当选择、并将这些内容科学合理地分布到相应的学段和年级，图形与几何（特别是初中平面几何）内容的增减，要不要在中学讲统计与概率，是近五十年来数学课程改革中引起争议焦点和最基本的问题。目前较多的争论是建立在个人理解、经验层面，往往缺乏令人信服的依据。在我国，有不少学者特别强调几何及其逻辑推理的教学，而在国外，尤其是美国，则有不少学者强调代数思维在中小学数学教育中的地位和作用，还有的学者则认为统计与概率也非常重要。在数学课程标准制定过程中，增加什么内容，减少什么内容，以及这些内容分布比例，有时甚至受课程标准研制者影响。有说服力的深人研究、特别是定量分析很少。
我国学者康玥媛、曹一鸣等通过对数学课程标准(小学初中部分）中词条的编码研究，对中国、澳大利亚、芬兰以及中国、美国、英国等国家的数学课程标准的内容分布进行了量化比较研究。郭衍、曹一鸣根据文献对中国、日本、韩国、新加坡、英国、法国、德国、俄罗斯、芬兰、荷兰、美国、加拿大、南非和澳大利亚14个国家小学初中数学课程标准文本中关于信息技术使用的比重、学段、种类和内容领域四方面进行了编码比较研究。数学课程标准是宏观架构思考与设想，并且各个国家数学课程标准地位与作用差异悬殊，相比而言，对教学更具指导意义的是数学教科书，并且数学课程标准的要求规定最后需要依靠数学教科书来体现，毕竟教科书内容规定更为详细。对于教科书进行课程内容分布宏观量化研究是一个空白，迫切需要从量化角度来看看主要国家的课程内容分布状况。教科书在初中阶段教师的教和学生的学地位非常重要，是教与学的主要载体。在过去20年里，教科书在教师教和学生学数学中所扮演的角色越来越引起研究者的关注。研究者们普遍认为，教师在他们的日常教学中相当依赖于教科书，在很大程度上依据所使用的教科书而决定教什么、怎么教，以及给学生布置哪些习题等。
本文选取4个亚洲国家（中国、日本、韩国、新加坡），4个欧洲国家（英国、法国、德国、俄罗斯），1个美洲国家（美国），1个大洋洲国家（澳大利亚）10国现行的初中数学教科书作为研究对象，对内容分布进行比较研究。因为，这10个国家在许多国际比较项目，如PISA、TIMSS中成绩非凡，并且来自四大洲，经济、文化、科技、教育发展水平虽不尽相同，但很具代表性。由于10个国家初中学制之间存在差异，其中中国、日本、韩国、英国四个国家初中三年，7、8、9三个年级；其他新加坡、澳大利亚、俄罗斯、法国、德国都是四年或五年，但都包括7、8、9三个年级。因此，选定7、8、9三个年级（美国选择6、7、8年级，正好是初中阶段）数学教科书，参照中国课程内容划分，对“数与代数’’“图形与几何”“统计与概率”三个领域的课程内容分布进行比较，从国际视野来分析、探讨我国数学教科书课程内容分布适切性，并对我国初中数学课程改革中，对内容的总体分布的调整提供必要的参考，也为数学教科书的编写提供借鉴。
(一）研究问题
中国中小学数学教科书安排了四个部分的课程内容：数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践；在澳大利亚数学课程标准（ACM)中认为课程内容包括数与代数、测量与几何、统计与概率[7]，英国、美国等其他8个国家也基本相同。由于综合与实践内容在教科书中很难跟具体课程内容相剥离，因此随之计算在相应章节中。就此选定数与代数、图形与几何（含测量）、统计与概率三部分来分析统计初中数学教科书课程内容。
(二）数学教科书版本的选取
选择10个国家教育行政部门发布或推荐使用的正式教科书，情况如下。
中国：选取人民教育出版社2008年出版的初中《数学》教科书，共6册。
日本：选取大日本图书株式会社出版初中《数学（2005年修订）》，2010年第5版，教科书共三册，在日本使用面大约为25%。
韩国：韩国初中数学教材种类较多，共有14种，选择了韩国比喻与象征教育出版社2009年出版的初中数学教科书，共三本，使用率达23%左右。
新加坡：选取Pearson出版集团出版《MathInsightsSecondary1A(IB,2A,2B,3A,3B,4,5)NormaKAcademic)»,合计8本，适合新加坡中等学生使用，适用面较广。
英国：《数学链接》是基于最新的2007年颁布的数学课程标准设计的，由英国牛津大学出版社2009年出版，针对不同水平的学生，设计了A、B、C三个系列。A系列较容易，是针对普通学生使用，7、8、9年级各自有1本，共3本，目前在英格兰的很多中学使用。
法国：法国没有统一的全国数学教材，选择SeSAMATH公司出版的《S6SAMATHLEManual3e(4%5'60》教材，.每学年一本，5e、4'3e对应我国的7年级、8年级、9年级，其中出版时间分别是2010、2011、2012年，在法国使用面比较广。
德国：巴伐利亚州是德意志联邦共和国最大、最古老的州。在最近的“国际学生评价项目”的测试中，来自巴伐利亚的学生在所有测试的科目中比其他各州的学生做得都要好，位居世界前列。选用由ErnstKlett出版社2005年出版的巴伐利亚州所使用的完全中学（Gymnasium)的一套教材，全套共有5年级到12年级共8册，选用7、8、9三册。
俄罗斯：目前在俄罗斯应用最广泛的、最主要的就是教育出版社出版，该套教材共六本。K).H.MaKapbmeB担任主编的，H.r.Mhh^iok，K-H.HeuiKOB，C.B.CyBopoBa为分册主编的《数学》共5册，分别对应5、6、7、8、9年级，其中7、8、9册教材分别是20版，18版，18版；另一本《几何》教材是由Jl.C.ATaHacHH主编的，贯穿7、8、9三个年级，是第21版。
美国：由McGraw—HillCompanies2009年出版的《IMPACTMathematics)),包括三本，分别是《IMPACTMathematics(Course1)》、《IM-PACTMathematics(Course2)》、《IMPACTMathematics(Course3)»,专为6—8年级学生设计的。
澳大利亚：澳大利亚没有全国统一数学教科书，选择在维多利亚州广泛使用的Pearson出版集团出版《theHeinemannMathsZone7—10VELSEnhanced》教科书，4册。
(三）研究方法
通过把10个国家的初中数学教科书内容按照数与代数、图形与几何、统计与概率三部分，从其包含的章数、节数以及页码数（主要是正文内容，去掉了前言、目录、后记等）统计比较，定量分析数与代数、图形与几何、统计与概率三部分内容在10个国家三个年级教科书的分布。在比较中，澳大利亚基本每章平均含有8.1节，英国平均每章6节，其他国家基本在3节左右，以绝对数量比较出人较大，但对于各自国家而言，其占总量的比值与页码数基本相同，如果出现偏差，以页码数为主。此外，俄罗斯几何内容是单独分册编写，7、8、9三个年级合用一本书，共14章，并且每个年级学习时间基本相同，7年级学1一5章，8年级学6—10章，9年级学11一14章。
三、研究结果
10个国家初中教学教科书内容按照数与代数、图形与几何、统计与概率三个部分在7、8、9三个年级以及整个初中阶段从章数、节数以及内容所占页码数统计汇总分析如下。
(一)10个国家“数与代数”内容所占比重都最高，平均达到56%
1. “数与代数”内容分布所占比重都是最高
从10个国家初中数学教科书整体来看，无论从章、节，还是页码来看，无一例外的是“数与代数”内容分布所占比重都是最高，平均占56%，主要讲授数及运算、代数式、方程、函数、不等式等内容（见图1)。有7个国家“数与代数”内容占据整个初中阶段教科书内容总量的一半以上。现代数学的发展，与计算机技术密切相关的代数日益受到重视，尤其在美国，许多数学家、教育专家提出“数字化’’时代，代数已成为通向高等教育和机遇的大门。早在1994年2月，全美数学教师理事会（NCTM)就通过了一个关于“为了每个人的代数”的报告，旨在让每位学生都能通过代数的学习获得工作和进一步学习的帮助。
2. “数与代数”分布比重最大的是美国，其次是俄罗斯与日本
整体上，“数与代数”分布比重最大的是美国教科书，达到75.2%，占据整个初中阶段知识内容总量的四分之三，远超其他国家，其次是俄罗斯与日本。比重超过56%的国家教科书进一步分析发现：不少内容讲授分数、小数、百分数等内容(并且对于较复杂的计算一般都借助于计算器完成），而该部分内容知识是在中国小学5、6年级完成的。
10个国家“数与代数”按年级分布，如图2。10个国家7、8、9三个年级中，“数与代数”内容平均分布比重分别是55.2%、58.4%、53.8%。在7年级有8个国家“数与代数”分布比重超过50%;在8年级也是有8个国家超过50%;在9年级有6个国家“数与代数”分布比重超过50%。低于50%的国家，“数与代数”内容分布比重不管是整体还是年级分布都是最高的。
3.中国与德国的数与代数比重接近一半，法国最少
中国与德国“数与代数”分布比重为49.3%、49%，位列第8、第9，相对较少。虽然法国“数与代数”在10个国家中比重最低，仅有42.8%，但是其在自己国家三个内容里面仍然是最高的，仍然超过“图形与几何”内容分布比重3个百分点，居于首位。
中国数学教科书“数与代数”在7年级达到59%，位居第4;8年级略有下降，在9年级仅占30.6%,该值既是中国“数与代数”内容分布比重的最低值，也是10个国家“数与代数”内容分布比重的最低值，并且在9年级“图形与几何”内容分布比重将近是“数与代数”的2倍。中、法数与代数内容较少的一个原因是这两个国家特别重视几何的教学，而德国则是因为统计与概率内容相对较多。
(二）“图形与几何”内容分布比重次之，约占32%
1. “图形与几何”内容各国差异较大，但所占比重都为第二
对于几何教学内容的取舍一直是自20世纪50年代以来国际数学课程内容改革的争论最激烈的一个问题。许多人视初中（平面）几何的教学，为培养现代公民推理能力不可或缺的载体，但也有人将平面几何作为“繁难偏旧”的代表，成为一些初中生学习数学的“拦路虎”。所以，几何课程内容、要求以及呈现方式各个国家之间的差异也非常大。
根据统计，“图形与几何”内容在10个国家初中数学教科书中分布比重次于“数与代数”，均排在第二位，平均分布比重为32%。有5个国家该部分内容分布比重超过平均值，主要讲授三角形、四边形、圆、三角函数、空间图形、面积、体积等内容。10个国家7、8、9三个年级中，“图形与几何”内容平均分布比重分别是34.6%、28.8%、33.7%,8年级略低些。10个国家“图形与几何”按年级分布情况，如图4。三个年级中，“图形与几何”内容分布比重最高在中国9年级出现，达58.3%;最低点是在美国8年级，仅占9%，相差6.5倍。
2. “图形与几何”中国所占比重最高，法国次之
中国初中数学教科书以12章39节，41.4%的分布比重居首，比排名第二的法国多1个百分点。在中国，一直将数学视为思维的体操，而几何课程在培养学生分析问题和解决问题方面，特别是培养学生严密的逻辑思维，推理和论证能力方面具有不可替代的重要作用。近年来，我国的义务教育数学课程标准虽然对初中几何教学进行改革与尝试，并引起了不少争议，几何教学内容仍保持重要地位。
3. 日本与韩国分布比重超过平均值，德国与俄罗斯分布比重接近均值，新加坡、英国与澳大利亚三国分布比重低于均值
日本与韩国“空间与图形”分布比重分别达到37.5%,36.4%,超过均值4、5个百分点。德国与俄罗斯“空间与图形”分布比重分别为33.3%、32.2%,德国比重高于均值1个百分点，俄罗斯略低0.1%。
新加坡、英国与澳大利亚“空间与图形”分布比重分别为30.4%、28.7%,28.6%。新加坡是10个国家三个年级比重数据分布最稳定的一个，差异在1.5%以内。英国与澳大利亚分别以28.7%,28.6%的分布比重位居8、9名，低于均值将近4个百分点。两个国家都是在8年级比重数据最低，9年级比重数据最高。
4. 美国“图形与几何”内容所占比重最低
美国在三个年级中“图形与几何”的分布比重都是最低的，整体均值14.6%。在7年级达到19%,是其三个年级分布比重最高值；在8年级仅占9%，是10个国家年级分布最低值；在9年级有所上升，达到15%。一方面由于美国特别强调了代数的重要性，另一方面，由于几何（特别是以传统的欧氏几何为代表的几何体系）对学生逻辑思维方面的较高要求，以面向“大众”的教学理念，美国（还有澳大利亚、英国等）的几何教学一再减少内容、降低要求。这种状况，近年也受到了数学家和科学家的强烈批评和反对，并呼吁要加强几何教学。
(三）“统计与概率”内容分布比重最少，约占12%
1. “统计与概率”分布比重最少
“统计与概率’’内容在10个国家三部分内容中都是分布比重最低的，平均分布为12%。这其中一个重要原因和“统计与概率”在整个数学学科中所占的比重有很大关系。数学是研究数量关系与空间形式的科学，无疑代数、几何就是数学学科两个最主要的传统分支。“统计与概率”则是一个相对比较年青的分支，近几十年才成为大多数国家中小学数学课程的教学内容。不管从整体分布比重来看，还是年级分布比重来看，“统计与概率”内容分布比重都是最低，大约占据教科书内容总量的九分之一。
2. 德法英三国比重接近，相对比较多，均超过17%
所占比重最高的是德国教科书，占17.7%，法国、英国该部分内容分布比重也都在17%以上，分别位列三甲，三个国家均超出均值5个百分点。德国教科书“统计与概率”在7年级分布比重比较低，仅有8.9%,居于第8名；在8年级迅速攀升，达到该部分年级分布比重的最大值24.3%;9年级虽然略有下降，仍然维持在21%以上。英国三个年级分布比重分别是16.8%、17.9%、16.4%,最稳定，上下浮动在1.5%以内。法国7、8年级差别不大，在9年级达到最高值22.7%。
3. 澳大利亚与新加坡次之，均高于均值
澳大利亚与新加坡分别以14.7%、12.2%的分布比重，位列4、5名。澳大利亚“统计与概率”内容分布比重在9年级最高，达到20.7%,7、8年级在均值上下浮动。新加坡7、8两个年级稳定在15%左右，在9年级达到最低，也是9个国家9年级的最低值6.2%(日本除外）。
4. 美国、中国与韩国分布比重略低于均值
美国、中国与韩国三个国家“统计与概率”分布比重比较接近，分别是10.1%、9.9%,9.8%。中国三个年级均低于10个国家年级平均值，在三个年级分布比较稳定。美国分布与中国持平，尤其是在统计内容上，以主题形式来展现内容，其知识涉及面较广。
5.俄罗斯与日本最少
俄罗斯与日本“统计与概率”分布比重分别是6.4%、3.7%,位居后两名。俄罗斯三个年级均涉及“统计与概率”，在7年级以分布3.5%排第9名，8年级以5.1%排最后一名，9年级继续上升，以10.8%排在第6名，随年级在逐步增加。分布最少的是日本教科书仅在8年级有1章概率，而且没有统计，在10个国家其分布比较独特。
四、建议与思考
10个国家初中数学教科书“数与代数”“图形与几何”与“统计与概率”三部分内容分布具体见图7。根据上面具体分析，10个国家三部分内容虽有差距，但是多数国家课程内容分布比重在均值附近波动，均按照“数与代数”“图形与几何”与“统计与概率”从高到低排列。通过10个国家初中数学教科书课程内容分布比重的比较研究，对于充分了解世界主流国家初中数学教科书的内容分布提供了一份佐证，为我国数学课程改革与教材建设提供重要的一份参考，也带给我们一些思考。
(一)适当增加“数与代数”的应用，渗透推理能力
中国初中数学教科书“数与代数”内容分布均值是49%，比10个国家平均值56%低7个百分点，从整体分布上较低。进一步研究发现，“数与代数”比重多的国家，有相当内容是有关数的计算，这部分内容在中国是分散在小学5、6年级中学习的。再进一步分析研究国外数学教科书，相对中国数学教科书，需进一步增强数学模式、代数推理、代数知识的应用以及问题解决，数学推理并不是仅靠“图形与几何”内容为载体来完成，譬如美国教材以“探究”为主线来呈现内容，每一小节是由1一3个小探究组成，把探究推理隐含在整个教科书之中。澳大利亚教科书“数与代数”内容习题编写很富有特色，注重推理，发现规律，形成模式，此外在习题部分单列了应用部分。这也符合《义务教育数学课程标准（2011年版）》倡导的“所选择的学习素材应尽量与学生的生活现实、数学现实、其他学科现实相联系，应有利于加深学生对所要学习内容的数学理解”。
(二）适当精减“图形与几何”内容，拓宽几何知识
中国初中数学教科书“图形与几何”内容分布均值是41.4%，远高出10个国家平均值9个百分点，几乎是美国（14.6%)的3倍。中国数学教科书虽然“图形与几何”内容所占比重较高，但知识覆盖面并不广，对概念与命题比较重视，尤其是对几何证明比较重视。如，证明全等三角形的“边边边”“边角边”“角边角”“斜边直角边”四个定理，在中国占10页篇幅。在这方面，澳大利亚的数学教材则是另一个极端，相应的内容仅用一页来呈现，没有证明，对于定理多数是以描述为主。澳大利亚8年级数学教科书没有一道需要证明的习题，我们认为这对中国的数学课程而言是不可取的，但是其内容纵向上延伸很多时候体现在习题设计上，在整个教科书体系上跨度比较大，尤其是在澳大利亚教科书中，如从多边形问题过渡到欧拉公式。澳大利亚的数学教材把训练学生逻辑思维能力的培养不仅仅局限于“图形与几何”，在“数与代数’“统计与概率”中都有渗透，并且知识纵向延拓借助习题来实现，这是值得我们借鉴参考的。
(三）适当增加“统计与概率”知识的广度
中国初中数学教科书“统计与概率”内容分布均值是9.9%，低于国际平均值12%。“统计与概率”内容，中国整体排第7,比均值低2个百分点；7、8、9年级分别排第7、9、6，处于中下。对中国数学教科书而言，需适当增加“统计与概率”内容分布比重，更为主要的是要拓广概率与统计的内容广度，提高单位页码中的内容信息量。国外有四五个国家在有限的篇幅内，教科书内容涉及了单/双/多条形图、线形图、扇形图、直方图、盒子图、统计图的误用、最佳拟合线、平均数、中位数、众数、极差、四分位数等众多的知识，有许多是我们教材统计内容所没有的，这些国家里面教科书该部分内容比重并不比我国多，但是其涉及面更广，实用性更强。使学生在逐步解决实际问题的过程中，经历数据收集、整理、分析的过程，在经历这些统计活动的过程中，形成初步的数据分析观念。
通过比较，我们得出“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”三部分平均所占的百分比为：56%,32%,12%,而我国这三部分的百分比约为：49%，41%,10%。这个比重虽然不是绝对的，但可以为我们国家的课程改革提供重要参考依据。我国初中几何课程所涉及到的知识点覆盖面并不特别广，主要是对概念、命题、习题学习要求比较高、内容比较深，代数内容相对要求较低。因此，需要适当降低几何习题数量和难度，适当加强代数课程教学，特别是加强代数思维、代数推理方面的要求。这和美国学者呼吁需要适当加强几何教学是很不一样的。
作者简介：吴立宝（1977—），男，山东人，内江师范学院数学与信息科学学院副教授，北京师范大学数学科学学院博士生，主要从事数学课程与教学研究；通讯作者：曹一鸣（1964—），男，江苏人，北京师范大学数学科学学院教授博士，主要从事数学教育研究。
