数学模型小应用

　　【摘要】21世纪是信息时代，信息的收集与传递越来越方便，因此，相对于知识的积累与获得，知识的应用显得越来越重要了。随着数学在实际中的应用越来越多，数学建模越来越受到人们的关注，但是如何更好地建立数学模型一直都是大家探讨的热点。

　　【关键词】数学模型；小应用；案例

　　作者：梁靓

　　案例：椅子问题

　　把椅子置于地面时，如果只有三只脚着地，椅子经常放不稳，通常需要调整几次方可将椅子放稳，试用数学语言对此问题给以表述，并用数学工具说明椅子能否在地面上放稳？若能，请给予证明并给出做法，否则说明理由。

　　【问题分析】

　　为了构造距离函数和设定相关参数，让我们实际操作一下，从中搜集信息，弄清其特征。要想四只脚同时着地，通常有四种方法：其一是将椅子搬离原地，换个位置试验；另一个做法是原地旋转试验，由于前一种方法需要研究的范围可能要很大，这里我们采取第二种做法。通过实地操作，易得出结论：只要地面相对平坦，没有地面大起大落的情况，那么随着旋转角度的不同，三只脚同时落地后，第四只脚与地面距离也不同（不仅如此，旋转中总各有两个脚同时着地，另两个脚不稳定）。也就是说，这个距离函数与旋转角度有关，是旋转角度的函数，于是一个确定的函数关系便找到了，不仅如此，我们的问题也顺其自然地转化为是否存在一角度，使得四个距离函数同时为零？

　　综上分析，问题可以归结为证明函数零点的存在性，遂决定试用函数模型予以处理。

　　【模型假设】

　　根据前面的分析，我们可作如下假设：

　　1）椅子的四只脚同长。

　　2）将椅子的脚与地面接触处看成是一个几何点，四角连线为正方形。

　　3）地面相对平坦，即在旋转所在地面范围内，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。

　　4）地面高度连续变化，可视地面为数学上的连续曲面。

　　【建立模型】

　　首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。

　　依据假设条件，四只脚连线呈正方形，因而以其中心为对称点，令正方形绕中心旋转便可表示椅子位置的改变，于是可以用旋转角度的变化表达椅子的不同位置。为此，我们以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，并假设旋转开始时（角度θ=0）四个椅脚点A，B，C，D中的A点和C点位于x轴上，B点和D点位于y轴上。旋转角度θ后，点A，B，C，D变到点A′，B′，C′，D′（图1）。显然，随着θ的改变，椅子的位置也随着改变，从而椅脚与地面距离也随之改变。尽管椅子有四只脚，有四个距离，但对于每个角度，总有点A、C同时着地而点B、D不同时着地或点B、D同时着地，而点A、C不同时着地，故只要设两个距离函数即可。因此设A、C两脚与地面距离之和为fθ，B、D两脚与地面距离之和为gθ，且作为距离函数的fθ、gθ均为非负函数。由假设（3）可知，对任意角度θ，恒有fθ=0，gθ0或gθ=0。故fθgθ=0对任意θ成立。

　　要证明存在角度θ0，使fθ0=0，gθ0=0同时成立，还需要条件支持。注意到在初始位置（θ=0）处，有f0=0，g0>0或f0>0，g0=0，而旋转90°后，两组条件恰好交换。因此，椅子通过旋转改变位置能放稳的证明，便归结为证明如下的数学命题，即

　　已知fθ、gθ是θ的连续函数，对任意θ，fθgθ=0且f0=0时g0>0，fπ2>0时gπ2=0。

　　求证：存在θ0∈0，π2，使fθ0=gθ0=0。

　　这就是椅子问题的数学模型。由此可见只需引进一个变量θ及其一元函数fθ、gθ，便把模型条件和结论用简单又精确的数学语言表述出来，从而形成所需要的数学模型。