二维双曲型方程的分组并行格式
来源：UC论文网2015-11-30 20:16
导读:：本文构造了求解二维双曲型方程 的初边值问题的一组分组并行算法(GE、GEL、GER),格式的局部截断误差阶一般为 ,稳定性条件为 .数值例子验证了理论结果. 论文关键词：二维双曲型
的初边值问题的一组分组并行算法(GE、GEL、GER),格式的局部截断误差阶一般为
,稳定性条件为
.数值例子验证了理论结果.论文关键词：二维双曲型方程，分组显式格式:稳定性:截断误差
0 引言
设数学模型为：
（1）由于对此方程的计算具有极强的方向性且仅具有单边边界条件,故对二维双曲型串行差分格式的并行化是一件很不容易的事情.从已有文献看(见文[1]、[2]、[3]、[4]),尚未发现二维双曲型方程的并行化格式.本文利用一个二维显格式、两个二维显隐格式和一个二维隐格式构造了一组分组显式格式,格式的局部截断误差阶一般为
,稳定性条件为
.1 构造并行差分格式
设问题（1）的解
充分光滑,以
、
和
分别为
、
和
方向的网络步长,其中:
,
,
为正整数,在网点
处的网格函数
记为
,其近似值记为
.其中
为简单起见,本文取
且
,则
,其中
.下面针对
奇偶性数学建模论文，设计如下几种分组并行的计算方法：1.1 GE格式
当
为偶数时,为了设计分组并行差分格式,用如下的四个格式构造逼近式(1)的并行差分方程组:
（2）其中
于是在第
时间层上的4个函数值可由第
时间层上的8个函数值显式地进行计算：
即： 
（7）其中：
；
；
(8)将式(3)、(4)、(5)、(6)分别在
、
、
、
处进行Taylor级数展开(见文[5])得它们的局部截断误差分别为:
(9)
(10)
(11)
(12)其中:
.我们可将每一时间层上的节点（除左边界点和下边界点外）按
、
、
、
（其中：
）四个相邻点组成一组,共分为
组.并对每组都使用GE格式(2).且可显式表示为：
(13)其中：
；
；
；
(14)1.2 GEL格式
当
为奇数时,在靠近下边界的每两个内点
、
（
）组成一组,采用式(2)中的第一式和第二式;在靠近左边界的每两个内点
、
（
）组成一组,采用式(2)中的第一式和第三式;在
点采用式(2)中的第一式;在其余
个节点处反复使用GE格式(2),就得GEL格式,其矩阵形式为: 
(15)其中：
;
;
;
;
;
；
；
；
；
；
； 
；
、
、
同前所述. (16)1.3 GER格式
当
为奇数时,在右边界上的每两个内点
、
（其中：
）组成一组,采用式(2)中的第一式和第三式;在上边界上的每两个内点
、
(其中：
)组成一组,采用式(2)中的第一式和第二式;在
点采用式(2)中的第一式;在其余
个节点处反复使用GE格式(2),就得GER格式,其矩阵形式为: 
(17)其中:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
同前所述. (18)由(9)—(12)式可得：
定理1 当
且
时,式(13) 、式(15) 、式(17)的精度一般为
.2 稳定性分析
我们首先对GE格式的稳定性进行分析，由式(13)的增长矩阵的特征方程可得：
(19)则：
(20)从而：
(21)其中：
（
为特征值） (22)因
是一个下三角行列式,故显然有:
且
解得:
又当
时, 
,从而:
递推可知：
对
有界.从而可得:
定理2 GE格式(13)的稳定性条件为
类似可得:
定理3 当取
时,GEL格式(15)、GER格式(17)是稳定的.3 数值例子
考虑二维双曲型方程初边值问题:
(23)它的精确解为:
.以下数值例子取
对GE格式取
，对GEL、GER格式取
.
表1 并行格式GE、GEL、GER的误差(
)
| 格式 误差 | (0.4,0.4) | (0.4,0.8) | (0.4,1.2) | (0.8,0.4) | (0.8,0.8) | (0.8,1.2) | (1.2,0.4) | (1.2,0.8) | (1.2,1.2) | |
| GE | 绝对误差 | 2.935e-002 | 3.279e-002 | 2.345e-002 | 3.279e-002 | 3.727e-002 | 1.694e-002 | 2.345e-002 | 1.694e-002 | 1.601e-002 |
| 相对误差 | 3.031e-002 | 3.818e-002 | 3.774e-002 | 3.818e-002 | 6.133e-002 | 6.062e-002 | 3.774e-002 | 6.062e-002 | 1.930e-002 | |
| GEL | 绝对误差 | 2.337e-002 | 2.788e-002 | 2.026e-002 | 2.788e-002 | 3.397e-002 | 1.582e-002 | 2.026e-002 | 1.582e-002 | 1.493e-002 |
| 相对误差 | 2.399e-002 | 3.228e-002 | 3.243e-002 | 3.228e-002 | 5.560e-002 | 5.638e-002 | 3.243e-002 | 5.638e-002 | 1.777e-001 | |
| GER | 绝对误差 | 1.648e-002 | 1.997e-002 | 1.695e-002 | 9.926e-003 | 3.196e-003 | 8.515e-004 | 4.054e-002 | 4.626e-002 | 5.072e-002 |
| 相对误差 | 1.679e-002 | 2.291e-002 | 2.700e-002 | 1.101e-002 | 4.931e-003 | 2.865e-003 | 5.915e-002 | 1.350e-001 | 2.274e-001 | |
以上数值例子验证了理论分析的正确性,表明了本文的格式可行性与有效性.
参考文献：
[1]EVANS D J,ABDULLAH A R B.Group explicitmethod for parabolic equations[J].Inter J Computer Math,1983,14:73-105.
[2]刘百良.一阶双曲型方程的AGE方法[J] .计算物理,1998,15(1):101-106.
[3]金承日,丁效华,张少太.双曲型方程的有限差分并行迭代算法[J].哈尔滨工业大学学报,2002, 34(3):340-343.
[4]方春华,张大凯.双曲型方程的一类分组显示并行算法[J].贵州科学,2006,24(3):11-13.
[5]刘轶中,张大凯.双曲型方程的一类三层五点高精度显格式[J].贵州大学学报(自然科学版),2006,23( 2):134-138.
