谈积分中值定理的一个问题

来源：UC论文网2015-11-30 20:48

摘要：

导读:：在原有的积分中值定理的基础上加强了被积函数的条件得出了至少存在一点属于开区间的结论、给出了证明，并且应用到形如这一问题的证明中，较为有效. 论文关键词：积分

导读:：在原有的积分中值定理的基础上加强了被积函数的条件得出了至少存在一点属于开区间的结论、给出了证明，并且应用到形如这一问题的证明中，较为有效.
论文关键词：积分中值定理，严格单调，开区间

　　0引言
　　积分中值定理是被积函数在闭区间连续的条件下得出至少存在一点属于闭区间使得式子成立的结论，有时利用该定理解决问题能否在两端点取值至关重要，我们被积对函数作一限制，得到的结论, 给出了证明严格单调，并且以证明这一问题为例来表明的重要性.
　　1.相关的定义与定理
　　定义1.（严格单调）设函数在数集上有定义.若，且有
　　（），则称函数在上严格增加（严格减少）.
　　定理1.( 严格单调充分条件) 若函数在区间可导，，有（）则函数在区间上严格增加（严格减少）.
　　定理2. 若函数在闭区间连续，可导，，有（）则函数在闭区间严格增加（严格减少）.
　　证明：不妨设（同理可证情形）
　　因为，由定理1可得函数在开区间严格增加在分别应用拉格朗日中值定理（定理见文献2）得到
　　（1）
　　（2）
　　由（1）、（2）及易得
　　
　　综上可得函数在闭区间严格增加严格单调，定理2得证.事实上我们证明了一个更一般的结论，即有如下推论.
　　推论1. 若函数在区间可导，，有（）且　点为数集孤立点(定义见文献3)，则函数在区间上严格增加
　　（严格减少）.注:事实上只须将任意相邻两点分别使用定理2的方法便可得到.
　　定理3.（最值定理）若函数在闭区间上连续，则在必取得最大值()与最小值().
　　定理4.(积分中值定理) 若函数在闭区间上连续，则至少存在一点使得式子成立.
　　证明：因为函数在闭区间上连续，由定理3可得在必取得最大值()与最小值().由定积分的性质（见文献5）可得
　　
　　故有
　　
　　依据闭区间上连续函数的介值定理，在闭区间上至少存在一点严格单调，使得
　　.
　　因此有
　　.
　　2.定理（条件加强）及应用
　　定理5.(积分中值定理)若函数在闭区间上连续且严格单调，则至少存在一点使得式子成立.
　　

　　图1-1
　　证明：不妨假设严格递减（如图1-1所示）显然有
　　
　　即
　　(ⅰ)
　　由定理4可得至少存在一点使得
　　成立. （ⅱ）
　　将（ⅱ）代入(ⅰ)得到
　　（ⅲ）
　　三边同处除得到
　　（ⅳ）
　　又因为严格递减，所以有
　　
　　即属于开区间，定理5得证.
　　例1证明
　　证明由积分中值定理4可得
　　
　　两边取极限得
　　=0 （，）
　　在例1中，或均有成立，并未影响结论下面我们再看一个例子.
　　例2证明
　　分析:因为被积函数，由积分中值定理4可得至少存在一点属于闭区间使得成立，而该证明方法失败严格单调，其原因取到了闭区间的右端点1，下面我们给出正确的证法.
　　证明: 因为被积函数在可导.
　　对，
　　由定理2可得在严格递增，由定理5可得存在一点使得
　　　　
　　两边取极限得
　　=0
　　3结语
　　1在原有的积分中值定理中加强了被积函数的条件得出了至少存在一点属于开区间的结论.
　　2就例2而言还有更简单的办法比如放缩法，而积分中值定理方法更具一般性.
　　此外，我们还证出了函数在区间上严格增加（严格减少）更一般的结论（定理2的推论）.

参考文献
[1]刘玉链，傅沛仁.数学分析讲义[M]. 北京：高等教育出版社，1985. 15-16；237.
[2]同济大学应用数学系编.高等数学(上册)[M] 北京：高等教育出版社，2002. 127-128
[3]华东师范大学数学系编.数学分析(下册)[M]. 北京：高等教育出版社，1987. 113
[4]庞进生，刘洪运，刘庆芝编.高等数学[M]. 西安：西北工业大学出版社，2008.42-43
[5]李心灿.高等数学[M]. 北京：高等教育出版社，2003.160-161

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