分析ERV族下一类多元混合负相协风险模型的破产概率
来源：UC论文网2015-11-30 21:14
摘要：
导读:：根据保险公司的实际情况：在同一时刻会出现多种类型的索赔，而且同种类型的索赔都存在弱相关性。构建了一个多种轻尾索赔和多种重尾索赔同时发生且同类型索赔存在负相协
导读:：根据保险公司的实际情况：在同一时刻会出现多种类型的索赔，而且同种类型的索赔都存在弱相关性。构建了一个多种轻尾索赔和多种重尾索赔同时发生且同类型索赔存在负相协关系的风险模型。根据
论文关键词：
1.建立模型
我们建立的风险模型，主要解决的是既承保巨灾风险又承保小额保险的保险公司债务风险的破产概率，研究的是保险公司在同一时刻既有小额索赔又有巨额索赔的情况。保险公司承保能力是有限度的，同类型的索赔中，某一个理赔额较大，那其他的理赔额额必然会减少。所以，假设同类型索赔之间服从负相协的关系。
建立一个索赔额模型如下：
其中，负相协同分布随机变量序列
（其中
为有限自然数）具有分布
和一阶矩
且服从重尾分布。负相协同分布随机变量序列
（其中
为有限自然数）具有共同分布
和有限一阶矩
且服从轻尾分布。
我们假设：和对应的索赔发生时间相同。
该式对所有的
都成立。
每个索赔的到达时间
是一列非负的独立同分布随机变量，两次索赔之间的时间间隔
也构成一个非负的独立同分布随机变量序列。
令
，假设在时间
内发生的索赔个数为
，的期望为
，则
建立盈余模型：
该式可转化为
(1.1)
其中，初始盈余为
，利息为常数
，保费率为常数
，
是示性函数。破产概率定义为：
2.基本知识及引理
本文的破产概率主要在重尾分布子族
下研究。
分布族中的任意分布函数
满足：对任意的
，有
，(2.1)
其中
.
一列负相协的随机变量序列
满足：对
的任意两个非空、不交子集
，
以及任意两个单调不降的函数
和
，不等式
成立，其中涉及的矩存在。
引理1相互独立的非负随机变量序列(其中
)分布函数分别为
，
，令
，
。
则
的分布函数属于重尾子族
。
有关证明可参阅参考文献[2]。
引理2
和
是相互独立的非负随机变量，分布函数分别为
和
，
，则
（为有限自然数）的分布函数仍然属于。
证明：
由积分中值定理及分布族的性质可知：
当
时，假设
，有
同理可得
， 那么，
的分布函数属于；
假设当
时成立，即
的分布函数属于。那么，当
时，假设的分布函数
属于，
则
同理可得
，
命题得证。
引理3
和
是相互独立的非负的随机变量，分布函数分别为
。有界但在0点是非退化的。
，则
的分布函数仍然属于。
有关证明可参阅参考文献[1]。
3.定理及证明
定理1 令
，则(1.1)定义的盈余模型的破产概率
.（3.1）
证明：考虑当前的盈余额
，则由(1.1)有
(3.2)
则所求的破产概率转化为
(3.3)
根据(3.2)，有
(3.3)可写为
（3.4）
根据负相协的性质可知：
是负相协的随机变量序列。
如果我们证明了：
（3.5）
对于任意的
，有
根据引理3可知
，据(2.1)式和
的任意性有：
（3.6）
根据（3.4）、（3.5）、（3.6）可知：要证明定理1成立，只需证明（3.5）成立即可，
下面我们证明（3.5）成立。
令
，
根据引理1和引理2可知：
的分布函数
仍然在重尾分布族中，
根据参考文献[1]，对于变量
存在有限的正整数
和
，当
，
（3.7）
对于任意的
，有
（3.8）
根据（3.7）和（3.8），由
的任意性，我们显然可得
由
， 
，
有
（3.5）式成立
命题得证。
4.结论
在巨额索赔服从重尾分布
族的条件下，我们得到了风险模型的破产概率：
.
由得到的破产概率计算公式，可知：承保巨灾风险和小额保单的保险公司，小额保单对保险公司债务风险的影响较小，它承保的巨灾风险是决定保险公司出现债务危机的关键因素。
参考文献
[1]YiqingChen,Kai W.Ng. The ruin probability of the renewal model with constant interestforce and negatively dependent heavy-tailed claims[J]. Insurance: Mathematicsand Economics, 2007, 40: 415-423.
[2]Embrechts.P.,Goldie.C., Mikosch.T., Modelling Extremal Events for Insurance and Finance [M]. Berlin: Springer, 1997.
[3]Rob Kass,Qihe Tang. A large deviation result for aggregate claims with dependent claimoccurrences[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2005, 36: 251-259.
[4]SheldonM.Ross.Introduction to Probablity Models[M].Singapore:Elsevier Pte Ltd,2007.
[5]Bingham, N.H., Goldie, C.M., Teugels,J.L., 1987. Regular Variation.Cambridge University Press, Cambridge.
[6]高珊，孙道德.重尾索赔下的一类相依风险模型的若干问题[J].经济数学，2007,24(2):111-115.
[7]Tang, Q.,2005b. The finite-time ruin probability of the compound Poisson model withconstant interest force. Journal of Applied Probability 42(3), 608–619.
[8]Tang, Q.,Tsitsiashvili, G., 2003. Precise estimates for the ruin probability in finitehorizon in a discrete-time model with heavy-tailed insurance and financialrisks. Stochastic Processes and their Applications 108 (2), 299–325.
[9]Tang, Q.,Tsitsiashvili, G., 2004. Finite- and infinite-time ruin probabilities in thepresence of stochastic returns on investments. Advances in Applied Probability36 (4), 1278–1299.
[10]Tang,Q., 2005a. Asymptotic ruin probabilities of the renewal model with constant interest force and regular variation. Scandinavian Actuarial Journal (1), 1–5.
论文关键词：
1.建立模型
我们建立的风险模型，主要解决的是既承保巨灾风险又承保小额保险的保险公司债务风险的破产概率，研究的是保险公司在同一时刻既有小额索赔又有巨额索赔的情况。保险公司承保能力是有限度的，同类型的索赔中，某一个理赔额较大，那其他的理赔额额必然会减少。所以，假设同类型索赔之间服从负相协的关系。
建立一个索赔额模型如下：
其中，负相协同分布随机变量序列
（其中为有限自然数）具有分布和一阶矩且服从重尾分布。负相协同分布随机变量序列（其中为有限自然数）具有共同分布和有限一阶矩且服从轻尾分布。我们假设：
和对应的索赔发生时间相同。该式对所有的都成立。每个索赔的到达时间
是一列非负的独立同分布随机变量，两次索赔之间的时间间隔也构成一个非负的独立同分布随机变量序列。令
，假设在时间内发生的索赔个数为，的期望为，则建立盈余模型：
该式可转化为
(1.1)其中，初始盈余为
，利息为常数，保费率为常数，是示性函数。破产概率定义为：2.基本知识及引理
本文的破产概率主要在重尾分布子族
下研究。分布族
中的任意分布函数满足：对任意的，有，(2.1)其中
.一列负相协的随机变量序列
满足：对的任意两个非空、不交子集，以及任意两个单调不降的函数和，不等式成立，其中涉及的矩存在。
引理1相互独立的非负随机变量序列
(其中)分布函数分别为，，令，。则
的分布函数属于重尾子族。有关证明可参阅参考文献[2]。
引理2
和是相互独立的非负随机变量，分布函数分别为和，，则（为有限自然数）的分布函数仍然属于。证明：
由积分中值定理及
分布族的性质可知：当
时，假设，有同理可得
， 那么，的分布函数属于；假设当
时成立，即的分布函数属于。那么，当时，假设的分布函数属于，则同理可得
，命题得证。
引理3
和是相互独立的非负的随机变量，分布函数分别为。有界但在0点是非退化的。，则的分布函数仍然属于。有关证明可参阅参考文献[1]。
3.定理及证明
定理1 令
，则(1.1)定义的盈余模型的破产概率.（3.1）证明：考虑当前的盈余额
，则由(1.1)有(3.2)则所求的破产概率转化为
(3.3)根据(3.2)，有
(3.3)可写为
（3.4）根据负相协的性质可知：
是负相协的随机变量序列。如果我们证明了：
（3.5）对于任意的
，有根据引理3可知
，据(2.1)式和的任意性有：（3.6）根据（3.4）、（3.5）、（3.6）可知：要证明定理1成立，只需证明（3.5）成立即可，
下面我们证明（3.5）成立。
令
，根据引理1和引理2可知：
的分布函数仍然在重尾分布族中，根据参考文献[1]，对于变量
存在有限的正整数和，当，（3.7）对于任意的
，有（3.8）根据（3.7）和（3.8），由
的任意性，我们显然可得由
， ，有
（3.5）式成立
命题得证。
4.结论
在巨额索赔服从重尾分布
族的条件下，我们得到了风险模型的破产概率：.由得到的破产概率计算公式，可知：承保巨灾风险和小额保单的保险公司，小额保单对保险公司债务风险的影响较小，它承保的巨灾风险是决定保险公司出现债务危机的关键因素。
参考文献
[1]YiqingChen,Kai W.Ng. The ruin probability of the renewal model with constant interestforce and negatively dependent heavy-tailed claims[J]. Insurance: Mathematicsand Economics, 2007, 40: 415-423.
[2]Embrechts.P.,Goldie.C., Mikosch.T., Modelling Extremal Events for Insurance and Finance [M]. Berlin: Springer, 1997.
[3]Rob Kass,Qihe Tang. A large deviation result for aggregate claims with dependent claimoccurrences[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2005, 36: 251-259.
[4]SheldonM.Ross.Introduction to Probablity Models[M].Singapore:Elsevier Pte Ltd,2007.
[5]Bingham, N.H., Goldie, C.M., Teugels,J.L., 1987. Regular Variation.Cambridge University Press, Cambridge.
[6]高珊，孙道德.重尾索赔下的一类相依风险模型的若干问题[J].经济数学，2007,24(2):111-115.
[7]Tang, Q.,2005b. The finite-time ruin probability of the compound Poisson model withconstant interest force. Journal of Applied Probability 42(3), 608–619.
[8]Tang, Q.,Tsitsiashvili, G., 2003. Precise estimates for the ruin probability in finitehorizon in a discrete-time model with heavy-tailed insurance and financialrisks. Stochastic Processes and their Applications 108 (2), 299–325.
[9]Tang, Q.,Tsitsiashvili, G., 2004. Finite- and infinite-time ruin probabilities in thepresence of stochastic returns on investments. Advances in Applied Probability36 (4), 1278–1299.
[10]Tang,Q., 2005a. Asymptotic ruin probabilities of the renewal model with constant interest force and regular variation. Scandinavian Actuarial Journal (1), 1–5.
