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上海市高中生数学建模能力的调查与分析

来源:UC论文网2018-11-08 08:11

摘要:

  摘要:如何组织数学建模课程的教学,尤其是如何通过数学建模课程教学来提高学员解决实际问题的能力,这是一个值得深入思考和积极探索的问题。本文对数学建模课程教学过程进行总结,对课程教学过程中的教学主线、...

  摘要:通过对上海两所高中学生的数学建模能力进行调查,我们发现:高中学生的数学建模能力普遍不高,其数学建模水平在年级之间存在差异;数理成绩优秀的学生数学建模能力相对较强;学生具有一定的数学建模自学和迁移应用的能力。针对这一现状,笔者认为,可从认知水平与专业素养的提升、自主探究和合作学习的教学、课程开发与平台建设的推进、渗透教学与氛围营造的整合四个方面来对高中生数学建模现状予以完善。


  关键词:数学建模能力;调查研究;高中生;上海;


  作者简介:孙翔宇/华东师范大学课程与教学研究所硕士生,主要研究方向为课程与教学论、数学教育。(上海200062);


  一、问题的提出


  《普通高中数学课程标准(实验)》(2003年版)明确提出,“高中课程应提供一些基本内容的实际背景,反映数学的应用价值,开展‘数学建模’活动”。近年来,高考也逐渐加大了对数学应用能力的考察。数学建模作为一种能够促进学生学习科学概念、发展科学观念的能力受到越来越广泛的关注。但目前关于中学数学建模的研究主要集中于数学建模的过程研究、数学建模水平的评价体系、中学数学建模课程的设置以及开设中学数学建模课程的意义等理论研究领域。然而,数学建模的教学离不开学生实际的学习情况,不论是课程的编制、教学计划的制订,还是教学效果的评估等都应以学生实际的建模水平和特点为依据。因此,本文研究的重点就在于调查研究学生实际拥有的数学建模水平,发现学生数学建模过程中的特点和难点,为数学建模的教育教学提供一些参考资料。基于以上原因,本文主要探讨以下四个问题:


  (1)我国高中学生目前的数学建模能力处于什么水平?


  (2)我国中学生的数学建模能力是否因为学生所在年级、性别的不同而有显著性差别?


  (3)我国中学生的数学建模能力与学生的学业成绩有什么相关性?


  (4)学生数学建模的学习迁移能力如何?


  二、研究设计


  本研究经过了选题、查阅文献、确定问题、设计测试卷、进行测试卷预测、对测试卷进行修正、交流研讨、正式测试、数据统计、结果分析、得出结论等阶段。


  (一)研究对象


  本次测试在上海市两所中学中进行。笔者在上海市选取了两所高级中学进行测试:一所学校M1为闵行区实验性示范性高级中学,也是闵行区首批区实验性示范性学校之一,在这所学校选取了高一年级两个平行班级进行测试;另一所学校M2为闵行区教育局直属、教育教学设施完善的普通中学,在这所学校选取了高一年级两个平行班级、高三年级两个平行班级进行测试。这两所学校在生源质量和教学质量等方面存在一定的区别,具有代表性。


  本研究参加测试的学生共223人,回收有效问卷223份,问卷回收率100%。


  (二)测试题的选取与设计原则


  本次试题内容选择了“粉笔中的数学问题”。同时,为了探究学生的数学建模学习能力和迁移能力,在测试时采用了两套测试卷。测试卷1没有提供阅读材料,意在考察学生现有的数学建模水平;测试卷2则提供了一段“‘削菠萝’问题及其解答过程”的阅读材料,意在考察学生自学建模材料之后数学建模能力有没有相对提升。


  (三)数据的编码标准


  首先,数学建模不是一个线性的过程,而是需要不断在现实情境中检验和修正模型。例如,本次研究采用“粉笔中的数学”问题,学生往往首先抽象出单根六边形粉笔和圆形粉笔之间的关系,当他们发现不能借用单支粉笔的面积关系来完美解释现实问题时,他们才会进一步思考相同盒子放置粉笔支数的多少或相同支数的粉笔所需要盒子的大小。


  其次,需要注意到的是,由于我国的数学教育强调答题的格式和完整性,不论学生的解答是否能够合理解释自己的假设,他们仍倾向于在解答的最后论述自己的答案是合理的。所以,学生是否有结合现实情景来检验数学问题解答合理性的意识,受到学生答题规范意识的影响,本文不再将其作为数学建模水平划分的标准之一。


  最后,本文提出这样一个前提假设:数学建模能力评价的一个关键点在于模型选择的恰当与否。学生选择了更为合理的模型,即便没有经过在现实中检验修正的过程,仍可以认为学生的建模能力达到了一个更高的水平。


  据此,本文结合实际情况和数学建模水平分层的评价理论,将学生的数学建模水平共分为6个层次,详细划分标准见表1。


  三、调查结果与分析


  (一)学生的数学建模能力水平


  依照数据的编码原则,我们对回收的测试卷进行了编码评分(学生达到的数学建模水平即为他们得到的分数),得到各水平阶段学生的人数分布及百分比如表2所示(其中的百分比为达到该水平人数占总人数的百分比)。


  由表2可知,在本次测试中,有7.6%的学生建模能力处于“水平0”,他们的回答是空白或完全不相关的内容,这说明该部分学生在面对问题时,无法理解给定的具体情景,不能从中识别出任何问题,缺乏应用数学知识解决实际问题的意识和能力。28.7%的学生处于“水平1”,这部分学生能够理解具体情景,提出自己的假设,但是无法找到情境中相关的数学线索,无法建立模型。43.0%的学生处于“水平2”,这部分学生不仅提出了合理的假设,而且构建了初步的模型,具有一定的数学思维,但是无法将模型转化为数学问题,以致无法继续使用数学工具解决问题。15.3%的学生处于“水平3”,他们能够将数学模型转化为数学问题,并尝试解决,但由于模型不够完善或由于数学知识水平限制,导致他们无法在不够完善的模型中体验到修正的必要。4.0%的学生处于“水平4”,这部分学生认识到模型的不完整,能够返回现实情境中对模型进行修正,找到合适的模型,但由于数学知识限制,无法得出最终结果。1.3%的学生处于“水平5”,这部分学生不仅建立了完美的数学模型,而且凭借扎实的数学功底对模型进行了解答,成功解决了现实问题。此外,有极个别的学生还能将模型进行推广,考虑题目之外更加科学合理的粉笔摆放方案。


  (二)学生数学建模能力的差异性分析


  1.学生所在年级与其建模能力的差异性分析


  在本次测试中,我们选取了教学质量相似的两所高中的高一年级四个班级和高三年级的两个班级进行测试,得到的结果详见表3。


  从表3可知,高一年级学生的平均分为1.7190,低于高三年级学生的平均分2.0857。可见,随着年级的升高,学生的数学建模能力也得到了提高。T检验得到p值为0.001,存在极显著差异,由此可见,学生所在年级和学生的数学建模能力水平具有显著相关性。鉴于高年级学生拥有更多的数学知识和生活经验,其数学思维经过高中三年的训练能达到一个更高的水平;加之《普通高中数学课程标准(实验)》中对数学建模的要求,如训练学生的数学建模能力,开设数学建模课程,进行数学建模的相关实践等,这些都使得学生的数学建模能力随着年级的增长而得到了一定的提升。


  2.学生性别与其数学建模能力的差异性分析


  人的大脑两个半球在进行高级心理活动时,会表现出偏于一侧的现象。一般来说,左半球具有言语、书写等功能,右半球支配着空间信息和其他难以译成词语的资料处理过程。这些差异导致男女学生在学习数学、物理知识的过程中也存在差异性。本研究中得到的关于男女在数学建模能力方面的结果详见表4。


  从表4中可以看到,女生得分的平均值为1.9397,略高于男生的1.7196,这说明在高中阶段,女生的数学建模能力略高于男生。T检验中,P值为0.286>0.05,可见,学生的数学建模能力与学生的性别不存在显著性相关。虽然男女在大脑结构和思维能力方面存在差异,但在数学建模能力方面差异并不明显。同时,我们还应该注意到,由于目前学生的数学建模能力较低,可能会导致这一能力与性别的关系并不明显。在经过系统训练后,学生数学建模能力的提升速度和达到的最高水平与性别之间是否相关还有待进一步探索。


  (三)学生数学建模能力与其数理成绩的关系


  考虑到高三学生考试较多和春考的影响,笔者没有对高三学生的数理成绩进行统计。本文只对高一年级学生上半学期期末考试的数学和物理成绩与其数学建模水平的关系来做相关性分析,结果详见表5、表6。


  由表5可知,随着学生数学成绩的提高,其数学建模水平也相应提升。数学成绩优秀的学生由于数学基础扎实,对数学的应用问题也相应具有更高的兴趣和更小的畏难心理,在建立模型之后,往往可以顺利解答模型。


  由表6可知,学生的物理成绩越好,其数学建模得分越高。物理学是研究物质运动最一般规律和物质基本结构的学科。物理学的问题来源于生活实际,它的理论结构充分地运用数学作为自己的工作语言,是当今最精密的一门自然科学学科。物理成绩优秀的学生往往善于建立现实世界与数学世界之间的连接,具有发现问题、解决问题的意识和兴趣。


  (四)学生数学建模的学习迁移能力分析


  为了探究学生的数学建模学习能力和迁移能力,本次测试采用了无阅读材料和有阅读材料两套测试卷。


  对使用两种试卷进行测试的学生的分数进行统计分析,得到的结果如表7所示。


  由表7中的数据可知,不论是高一年级还是高三年级,如果事先阅读了数学建模的相关材料再解决同样的数学建模问题,其数学建模水平均会得到一定程度的提高。可见,学生具有自主学习数学建模知识并进行迁移的能力。


  这一结果说明,对学生进行适当的数学建模教育是必要且有效的,但这一过程最好在教师的指导下进行。教师需要有意识地对低年级学生进行数学建模的相关培训,帮助学生体验完整的数学建模过程;而对于高年级的学生,则可以尝试运用自主探究、合作学习等方式来培养他们的数学建模能力。


  四、研究结论


  通过对测试结果进行统计分析,我们主要得出以下结论:


  (1)高中阶段学生的数学建模能力普遍不高,多数学生的数学建模水平停留在能够合理地对现实问题进行简化,找出一个数学模型,但是无法将其转化为数学问题,或不能找到一个完善模型的阶段。


  (2)学生的数学建模水平在年级之间存在差异性。随着年级的增长,学生的数学建模能力得到了相应的提升,高三学生的数学建模水平高于高一学生。数学建模能力与学生的性别不存在显著相关,男生、女生在数学建模的平均水平和能力分布上差异不大。


  (3)学生数理成绩与其建模水平具有相关性,数理成绩越高,其数学建模能力也相对较好。


  (4)不论是高一年级还是高三年级,如果学生事先阅读了数学建模的相关材料再解决同样的数学建模问题,其数学建模水平均会得到一定程度的提升。但学生数学建模水平的提升仍需要教师的指导和学生的亲自实践。


  五、思考与建议


  基于调研结果的分析,我们发现,高中阶段学生的数学建模能力普遍不高,很多学生没有体验过完整的数学建模活动,缺乏数学建模的意识。针对上述问题,本文提出如下四点建议。


  (一)提升数学建模的认知水平与专业素养


  数学建模的能力来自于基本的认知过程,每个人都具有数学建模的潜能。提高学生数学建模的认知水平和专业素养,有助于提高他们的数学建模水平。


  数学建模的题目主要来源于现实生活中的实际问题,学生需要借助于数学工具,通过一系列的抽象简化,找到现实情境中的数量关系,用结构相似但更为简单的数学模型去代替原型。在对数学模型进行求解后,还要将其结果反演到现实生活中,以便对现实生活起到指导作用。在这一过程中,涉及到跨学科的、综合性的能力,以及运用数学工具的能力、创造能力、交流合作能力和书写表达能力等一系列子能力。学生需要对数学建模过程有足够的了解和体验,并具有解决建模问题的数学基础和分析能力,只有这样,才能顺利解决数学建模的相关问题。


  因此,提高学生的数学建模能力,教师需要帮助学生了解数学建模的过程和实质,掌握完整的建模过程及分析步骤,提高学生对数学建模的认知水平。此外,教师应向学生介绍数学建模相关的策略性知识,进行数学建模的相关训练,在此过程中帮助学生提高数学建模所需的抽象能力,以及熟练运用数学工具、与他人交流分享成果的能力,提升学生数学建模的专业素养。


  (二)注重数学建模的自主探究和合作学习


  数学建模作为一种联系现实世界和数学世界的工具,本身具有丰富有趣、答案开放等特点,是进行自主探究和合作学习的良好素材。提升学生的数学建模水平可以采取自主探究和合作学习的形式。


  数学建模学习的开展有别于传统高中单一的教学方式,它可以通过自主探究和合作学习的方式,在小组合作的交流讨论、各抒己见、思维碰撞、互相配合中提出不同的观点,从而得到不同的模型和解决方案,这种做法既完美地解决了问题,又激发和开拓了学生的思维和视野,为学生数学建模能力的可持续发展奠定了基础。此外,还可以采用开放性的教学训练,对数学建模问题进行多种假设、多种解决方案设计、多种建模结果的可能性分析等教学方式,帮助学生提高数学建模水平。


  在这一过程中,教师要做好角色转变,将思维探究的过程还给学生;要引导学生学习,为学生的建模过程提供必要的支持,创设民主和谐的氛围,鼓励学生大胆地提出问题,敢于质疑猜想,发表自己的独立见解,并帮助学生厘清问题、掌握知识,促进相互合作。


  (三)推进数学建模的课程开发与平台建设


  数学建模作为一个相对新颖的领域,目前还没有形成相对成熟的教学体系,具有很大的课程开发空间。数学建模可以作为校本课程开发的良好素材,为教师成为研究型人才和课程开发者提供发展方向和良好平台。


  一方面,由于学生数学建模能力的提升并非通过几个课时的学习就能取得立竿见影的效果,因此,数学建模可以作为选修课在中学开设,为有志于研究数学建模的学生提供学习机会和发展空间,培养学生发现问题、解决问题、应用数学知识的能力,提升其数学学习兴趣。另一方面,数学建模也可以与项目学习相结合,一些项目学习的材料可以成为数学建模素材的来源。再者,随着计算机技术不断成熟,计算机数学工具的使用已成为国际数学研究的一个热点,将计算机数学工具与数学建模相结合,给学生提供运用计算机建模、模拟和分析的平台,也是引导学生参与数学建模活动的有效途径之一。


  开展数学建模活动需要教师有广博的知识和业务素质,教师不仅要掌握数学建模的相关技巧,引导学生数学建模活动的开展,而且要参与到数学建模题目的设计与开发中来,关注基于计算机的数学工具的使用,提高数学建模课程的质量及其丰富性。


  (四)整合数学建模的渗透教学与氛围营造


  数学建模活动需要学生扎实的数学基础和灵活的应用能力,数学建模能力的培养应体现在日常教学活动中。注重数学建模的渗透教学和氛围营造,也是提升学生数学建模能力的重要内容。


  一方面,由于高中教材中较少涉及数学建模的教学素材,学生又往往将学习精力聚焦于课本知识的学习,其数学建模意识较为薄弱;另一方面,许多教师认为数学应以培养学生的逻辑思维能力为主,忽视数学的应用,或用应用题代替数学建模,无法使学生体验到完整的数学建模过程。因此,教师和学生都应进一步重视数学建模学习,认识到数学建模在联系数学世界与现实世界中的重要作用,只有这样,才更有助于保证与数学建模相关的教育教学活动的顺利开展。


  因此,不论在课堂教学中,还是在课外的数学竞赛辅导中,数学建模思想都应作为一个重要的思想对学生进行传授。课堂上可以开展一些小型建模活动,一些大型的建模活动可以留在课后。虽然数学建模能力的培养不是一蹴而就的,但通过在数学教育的各个阶段和各个方面的充分渗透,对学生数学建模意识的形成和数学建模能力的提高是很有帮助的。


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