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数学建模案例在高等数学教学中的应用探讨

来源:UC论文网2018-11-09 08:27

摘要:

  摘要:简要分析高等数学与数学建模的联系,研究了基于数学建模思想在高等数学课程教学中的应用,探讨了在高等数学教学过程中适当融入数学建模思想的必要性及原则,并通过具体数学建模案例来阐述如何在教学中恰当...

  摘要:简要分析高等数学与数学建模的联系,研究了基于数学建模思想在高等数学课程教学中的应用,探讨了在高等数学教学过程中适当融入数学建模思想的必要性及原则,并通过具体数学建模案例来阐述如何在教学中恰当的引入数学建模案例.


  关键词:高等数学;数学建模;必要性;教学案例;


  0引言


  高等数学是高等学校理工、经管等专业最重要的一门基础课.因为它不仅是大学生进校后的首先面临的一门重要课程,而且大学乃至研究生阶段的很多后继课程在本质上都可以看作是它的延伸、深化和应用.但是,现在的高等数学的教学仍然是以单纯的传授学生数学知识为主的教学模式.大多数学生对抽象的数学概念理解不深刻、复杂的数学计算不熟练.这样必然会造成很多学生根本不会灵活运用数学知识去解决实际问题.而数学建模就是将现实生活中的实际问题转化为数学问题的一门课程.因此,我们应该在高等数学的教学中,用数学建模的具体案例使学生深刻认识到那些枯燥无味的概念、公式、定理,并非无本之木、无源之水.从而使得学生对学习高等数学产生浓厚的兴趣.在高等数学的教学中引入数学建模案例的目的就是让学生知道高等数学有用和怎样用.


  高等数学的核心内容是微积分,而微积分是人类一两千年的智慧结晶,它的形成和发展直接得益于几何学、物理学、天文学等研究领域的进展和突破.从行星运动三大定律到万有引力定理,从发现行星运动中切向加速度为零的现象到极值的研究,再到微分中值定理的形成,宇宙速度和火箭运动方程的微积分导出等等,这其中无不充满着极其深刻奥妙的数学建模思想.此外,作为高等数学的实际应用举例,还可以通过对物理学、生物学、社会学、经济学与自然现象中许多数量变化关系的分析,建立各类数学模型等等.这些内容的融入大大地增强了课程的生动性,丰富了教学内容,拓宽了学生的思路和视野,激发了学生的学习兴趣和积极性,从而有利于提高学生的基本数学素质,逐步将学生引入数学科学的神圣殿堂之中.在高等数学的教学中,虽不能占用过多的课堂时间去讲解数学建模案例,但是可以通过引入数学建模的思维和方法,来充分调动学生的积极性和自主性,以讲授数学知识为重点,以实际应用为标准,取舍教学内容,在不损害数学原有的理论知识体系的前提下,以“题”为中心组织基础知识讲授,以“练”为手段选择灵活多样的教学方法.


  1在章节前言中引入数学建模案例,拓宽学生视野,激发学生学习兴趣


  常言道“万事开头难”,好的开始乃是成功的一半,绪论课对激发学生学习兴趣、改变学习态度起到了至关重要的作用,因此上好绪论课既举足轻重,又颇具难度.绪论课是介绍一章或一节大致概况,概述本章节的作用和地位.中学数学教育的过分应试化造成了大部分学生对数学的“误解”,要从观念上改变他们的看法,需要有针对性的提出一些趣味性较强的问题,激发学生的求知欲望[3].如在讲解定积分前,提问学生椭圆的面积如何求,商人如何安全渡河问题,变速直线运动的路程问题等,这些都是现实生活中常见问题,能够引起学生强烈的好奇心,活跃课堂气氛,开阔视野.文献[2]的第七章微分方程为例,介绍如何在章节前言引入数学建模案例.


  两位家长带着孩子急匆匆来到医院急诊室,诉说两小时前孩子一次误吞下11片治疗哮喘病、剂量100mg/片的氨茶碱片,已出现呕吐、头晕等不良症状.按照药品使用说明书,氨茶碱的成人用量是100~200mg/次,儿童是3~5mg/kg.过量服用可使血药浓度(单位血液容积中的药量)过高,100μg/mL浓度会出现严重中毒,200μg/mL浓度可致命.医生需要判断:孩子的血药浓度会不会达到100~200μg/mL;如果会达到,应采取怎样的紧急施救方案.根据数学模型的方法,假设胃肠道中药量血液系统中药量,时间以孩子误服药的时刻为起点.经过合理的、必要的、充分的、简化假设后,上述问题就归结为求解下列微分方程.


  通过这一案例,不仅可以使学生对抽象的微分方程建立直观印象,而且又可以使学生认识到微分方程是与实际联系比较密切的教学内容.因此学生自然会重视它的实际背景及应用.


  2在数学概念的引入和讲解中融入数学建模思想


  任何一门学问,关键的内容,核心的概念,往往就不过那么几条;而发挥出来就形成了洋洋大观的巨著.理解了这些核心的概念,就掌握了这门课的精髓,就能得心应手地加以应用和发挥,也就达到了这门课的目的.我们可以通过引入数学建模案例,将复杂的概念,抓住实质讲的明白易懂,使学生觉得自然亲切,趣味盎然.使学生把关键的概念真正学透,一生受用不尽.下面通过引入文献[2]的数学建模案例,介绍如何在讲解概念前引入数学建模案例.


  案例2向量分解与扬帆远航问题


  海面上东风劲吹,帆船要从A点驶向正东方的B点,确定起航时的航向θ,以及帆的朝向α.这个案例背景新颖,能够吸引学生的眼球,提高他们的兴致,激发他们的热情.


  扬帆远航问题就转化为确定θ,α使v1最大的问题.


  通过这一案例,可以促使学生深刻意识到向量可使得生活中的问题得到更简捷地得到解决,从而更加重视向量内容的学习.


  3在重要定理证明中融入数学建模案例


  学生学习了一大堆的定理,可能还是没有搞清楚为什么要学习这些定理,不知道学了究竟有什么用.但如果能在讲述这些定理时与相应的数学模型有机结合,在看起来枯燥无味的定理与丰富多彩的外部世界之间架设起桥梁,会起到事半功倍的效果.例如,闭区间上的连续函数具有一些重要的性质,这些性质是开区间上的连续函数不一定具有的,它们在高等数学的学习中有重要的作用.但是大部分学生对这部分内容掌握的不熟练,理解的不深刻.甚至把开区间和闭区间的情况混为一谈.我们可以引入文献[4]中的下面生活中的数学建模案例使学生意识到一些重要定理得应有之义.


  案例3零点存在定理与椅子放平问题


  椅子能在不平的地面上放稳吗?这个问题看似简单,看起来似乎与数学毫无关系的生活现象,如果能用数学语言给以表述,并用数学工具来证实.必然引起学生的兴趣.学生们也可随时用椅子做试验的问题.如何用所学数学知识来解释这个现象呢?同样经过合理的、必要的、简化假设归结为证明如下的数学命题.


  已知f(θ),g(θ)是连续函数,对任意的θ,有f(θ)·g(θ)=0,且f(0)>0,g(0)=0,证明存在θ0,使f(θ0)=0,g(θ0)=0.


  证明将椅子旋转90°(π/2),由f(0)>0,g(0)=0,可知f(π/2)=0,g(π/2)>0,令h(θ)=f(θ)-g(θ),则h(0)>0和h(π/2).由f(θ),g(θ)是连续函数知h(θ)也是连续函数.根据我们要讲述的重点内容零点定理,必存在θ0(0<θ0<π/2)使得h(θ0)=0,最后,因为f(θ0)·g(θ0)=0,所以f(θ0)=g(θ0)=0.


  通过这一案例,可以加深学生对零点定理的理解,可以使学生充分的认识到任何一个定理的产生,都离不开外部世界的推动.


  4运用数学模型案例教学的原则及积极的作用


  数学模型案例在高等数学的教学中的运用一般应遵循以下几个原则[5]:


  (1)设计和选用那些贴近日常生活实际的模型.使这些模型符合实际,同时赋予给它们更多的趣味性和应用性.数学模型不应当过分要求专业知识,大部分学生都比较熟悉引入的数学模型的背景知识,能够更好地激发他们的学习兴趣.如果能够和所上专业的知识背景紧密的联系起来,产生的教学效果就会更好,如给物理专业的学生上课时,选择那些与物理工程相关的数学模型.给经济学专业学生上课时,选择一些关于社会经济现象的数学模型.


  (2)数学模型在教学过程引入主要是为了激发学生的学习兴趣,起到抛砖引玉的作用.其理论应该简明、易懂,能够在较短时间内讲解完,占用的课堂时间不宜过长.明确引入数学建模的案例是为了更好的学习高等数学,而不是用“数学模型”课的内容抢占高等数学的阵地.


  (3)高等数学课程的知识体系,是经过一两千年历史积累和考验的产物,没有充分的理论依据不宜轻易变动.数学建模案例的引入应采用循序渐进的方式,力争和已有的数学内容有机地结合,充分体现数学建模案例的辅助作用.所以教师必须精心设计数学模型的讲解过程.数学模型案例不仅能够起到推广数学知识应用价值的作用,还应在一定程度上附带了人文艺术价值.安排得体、讲解通俗,同时上课语言充满幽默和风趣,内容充满生活性和文化性,会给学生带来耳目一新的感觉.老师讲课时充满亲切感和轻松感,能够缓解课堂原本相对沉闷的气氛,调动学生的情绪,提高学生学习兴趣.


  高等数学是一门关键、运用普遍并能授予人们能力和技术的学科,对经济和社会发展十分重要.面对目前高等数学教学中存在的问题和困境,必须改革高等数学教学方式,而树立正确的数学观是改革高等数学教学的关键因素.高等数学的教学过程教师要融入数学模型的思想,给学生一种比较直观的感受,同时更要引导学生自主去思考问题,能够运用学过的数学模型方法解决现实生活中的实际问题,逐步培养学生的分析、计算、推理的能力,发展他们的创造力、观察力等,这样学习后的高等数学才能真正变成一个有力工具.此外,高校也应倡导数学建模的理念,组织数学建模竞赛,引导学生发挥出他们的聪明才智,享受学以致用的快乐.总之,在将数学建模案例完美的引入到高等数学的教学过程中,是我们任课教师的追求的目标,就像文献[6]中毛泽东主席在“咏梅”这一词章所写的那样:“俏也不争春,只把春来报.待到山花烂漫时,她在丛中笑.”


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