了解数学史走进微积分

　　摘要：教学“导数及其应用”，不妨先用一课时让学生了解有关微积分的数学史。其目的是让学生初步认识微积分在数学思想史和科学思想史上的价值，以激发学习微积分的兴趣与动力。为此，要讲：什么是微积分；微积分研究的历史；为什么要学习微积分；教师本人学习微积分的经历和体会。教学效果非常好，使教师和学生树立起教好、学好微积分的信心。

　　关键词：微积分；数学史；学习

　　作者：杨忠

　　中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1009-010X（2013）12-0048-04

　　课堂实录

　　1.什么是微积分

　　师：同学们，听说过微积分吗？

　　生：听说过。

　　师：从哪里听说过？

　　生：在网上看到的。

　　生：从别人那里听说的，听说还很难学。

　　师：那人也是学生吗？

　　生：是正在参加自考的学生。

　　师：其实，微积分并不难学，而且是比较容易学的。我们现在要学习的新的一章“导数及其应用”是微积分的一个很小很小的部分。

　　在这里，我们有必要先了解一下什么是微积分。

　　微积分是研究函数微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。通俗的说，“无限细分”就是微分，“无限求和”就是积分。微分和积分既对立又统一，互为逆运算。

　　2.关于微积分的历史

　　师：微积分堪称人类智慧最伟大的结晶之一。从17世纪开始，随着社会生产力的发展，以及航海、天文、矿山建设等许多问题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，使微积分不断完善成为一门学科。

　　历史上，微积分是由两位科学家，牛顿和莱布尼茨几乎同时发现的。

　　大家应该知道牛顿吧！知道多少？

　　生：知道，我们在物理学习中就有牛顿定律，还有万有引力定律，但不知道牛顿在数学中还有贡献。

　　师：在17世纪60年代的短短几年里，牛顿成功地将他的前辈们发展出的关于切线和面积的所有材料进行统一并推广，成为我们今天的微积分教科书中展示的神奇的解决问题的工具。

　　关于莱布尼茨，同学们听说过吗？

　　生（多数）：没有听说过。

　　生（个别）：只是在网上看到过一些。

　　师：莱布尼茨是德国科学家，他在数学、逻辑学、文学、史学和法学等方面都很有建树。

　　莱布尼茨的研究成果遍及力学、逻辑学、化学、地理学、解剖学、动物学、植物学、气体学、航海学、地质学、语言学、法学、哲学、历史、外交等等，“世界上没有两片完全相同的树叶”就是出自他之口，他还是最早研究中国文化和中国哲学的德国人，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。由于他创建了微积分，并精心设计了非常巧妙简洁的微积分符号，从而使他以伟大数学家的称号闻名于世。

　　这两位数学家在微积分学领域中的卓越贡献概括起来就是：他们总结出处理各种有关问题的一般方法，认识到求积问题与切线问题互逆的特征，并揭示微分学与积分学之间的本质联系；他们都各自建立了微积分学基本定理，他们给出微积分的概念、法则、公式和符号理论，为以后微积分学的进一步发展奠定了坚实而重要的基础。总之，他们创立了作为一门独立学科的微积分学。

　　3.为什么要学习微积分

　　师：同学们，通过上面关于微积分的介绍，你知道我们为什么要学习微积分吗？哪些方面需要微积分，能归纳一下吗？

　　生：理论科学的发展需要微积分。

　　师：还有呢？

　　生：科学技术的发展需要微积分。

　　师：还有呢？

　　生：广大技术员工需要微积分。

　　师：那你们呢？

　　生：不知道。

　　师：实际上，你们自身的发展也需要微积分。那我们就分别细说一下吧！

　　对于理论科学的发展需要微积分，恩格斯曾经说过：“数学中的转折点是笛卡尔的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辨证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要了”。微积分的建立是人类头脑最伟大的创造之一，一部微积分发展史，是人类一步一步顽强地认识客观事物的历史，是人类理性思维的结晶。它给出一整套的科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强与提升了数学的作用。

　　对于科学技术的发展需要微积分，可以说，有了微积分，人类才有能力把握运动和过程。有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代化的社会。航天飞机、信息技术、生物工程、现代交通、神州飞船、航母建设等都离不开微积分。

　　对于广大技术员工需要微积分，是因为运用微积分的领域比较广泛。比如经济数学：用最小的成本获得最大的利润。比如工程设计：各种曲线段的长度，各种封闭图形的面积，各种几何体的体积，各种非恒定的速度问题，各种非均匀物体的受力分析。比如统计与预测：各种非等量的繁殖问题，各种非常数的增减问题，各种非常态的分布问题等等。

　　对于我们自身的发展也需要微积分，一是知识的发展需要微积分，进入高等阶段的数学学习，微积分是必修课程，也是理工农医商类的公共课程；二是能力的发展需要微积分，在我们的生活和工作中，处处需要微积分学中所体现出来的数学思想和方法。比如思考问题的严密性，解决问题的最优化，学会用数学的方法去分析和解决实际问题。

　　4.本人学习微积分的经历

　　师：由于社会和历史的原因，老师本人学习微积分的路程颇为坎坷。同学们，想知道老师本人学习微积分的那段不平凡的经历吗？

　　生（众）：想！

　　师：就教材的版本而言，我先后学习过吉林大学版、复旦大学版和四川大学版的《数学分析》。学习《数学分析》，就是比较系统地学习微积分。

　　生：为什么要学习那么多版本？学习一个版本不行吗？师：一般来说，在高校学习《数学分析》或《高等数学》，就只是学习一个版本。

　　但是，我的经历比起你们现在是较为特殊的。我1975年高中毕业后，本应该进入大学继续学习，却去农村插队当知青，不知你们听说过“知青”没有，就是知识分子到农村去，接受锻炼，接受再教育。

　　生（多数）：没听说过，不知道。

　　生（个别）：还是听说过。

　　生：为什么要去呀？

　　师：那是社会和历史的原因，鉴于时间关系，现在我们不谈这个话题。

　　生：老师，您在那里呆了多长时间？做些什么？与农民一样吗？累吗？

　　师：一呆就是三年。与农民一样，整天抬石头修梯田，背粪土到庄稼地，种地，收割，等等。收工以后还要去背水回来做饭，真累！

　　生（众）：啊……

　　生：后来呢？

　　师：1978年参加刚刚恢复的全国高考，由于中专和大专只能选择其一，如果选择大专，那么已经荒废了三年学业的我实在是没有把握，因此选择了中专，结果被录取到广元师范学校，大家知道就是现在我们川北幼儿师范高等专科学校的前身。

　　生：啊！那您也是广师毕业？

　　师：是的。1980年毕业后留校任教，直到现在。就是在广师学习期间，当时我是理科班，学的是吉林大学版的《数学分析》，任教期间分别参加了专科学校和本科院校的学习，相继学习了复旦大学版和四川大学版的《数学分析》。因此，学习微积分的路程颇为坎坷。但是，对于你们来讲，就不会再有我这样的经历了。

　　就我本人学习状况而言，失去过读书机会的人才倍加珍惜学习机会。虽然是学习同一课程的三种版本，但我却在学习每一种版本时都那么如痴如醉，都去购买或借阅了相应的习题集，成百上千的习题的完成需要大量的时间，占用了我几乎一切可以利用的时间，甚至在宿舍熄灯后去租用附近的民房而挑灯夜战。当然，我们现在不提倡这种行为，但当时那种失去过读书机会的人就是这样珍惜学习机会的。

　　好在工夫不负有心人，正是这种比较扎实的专业功底，才使得我享用到了知识的力量，一方面在教学中能够驾轻就熟，另一方面在教学研究中能够成就上百篇的研究论文得以发表。

　　同学们，每个人来到这个世界上都应该有所追求，虽然我们还不能与牛顿和莱布尼茨这样伟大的科学家相比，给人类创造巨大的财富，但我们总应该力所能及地做出我们的贡献吧！不瞒大家，我本人作为教师，就有个人的教育理想。想听听吗？

　　生（众）：想！

　　师：我的教育理想，就是在我的教育生涯中实现两个愿望。一是成为一名特级教师，二是撰写一部具有一定影响力的属于自己的专著。前者在几年前已经实现，成为四川省中学特级教师；而后者正在实现，即《数学基本能力学习》一书正在联系出版之中。我想，这样的人生才是有价值、有意义的人生。

　　生（众）：（沉思）

　　5.怎样学习微积分

　　师：同学们，听了以上关于微积分的介绍，我们应该思考一个问题：怎样学习微积分？哪位同学能够谈一谈？或者说一说你有什么心得和收获？

　　生：我愿意学习微积分。

　　生：我渴望今后能够系统地学习微积分。

　　生：我对学习微积分产生了兴趣。

　　生：我希望自己能够走进微积分。

　　生：原来微积分是那么的诱人。

　　生：我一直对学习数学不感兴趣，听了老师的学习经历，我感到惭愧，是自己对学习数学失去了信心，根本没有努力，我很后悔。

　　生：我要像老师那样学习微积分。

　　生：我也要做一个有人生追求的人。

　　……

　　师：大家对学习微积分有如此信心和认识，老师感动无比高兴。

　　我们应该明白一个道理：学习数学并不只是为了学会怎么去解一道题，而更多的是为了在解这道题的过程中锻炼思维，体会头脑高速运转的感觉，这些很奇特的抽象的东西将会在我们今后的人生道路上散发着数学思维的芳香。

　　希望同学们在本章的学习中能够深入地体会到微积分的美感，能够享受到学习微积分的乐趣。

　　6.作业布置

　　请同学们结合关于“微积分”的有关资料思考以下问题：微积分的创立说明了什么？它的历史意义是什么？你有什么体会？

　　教学反馈

　　课前，我根据学生和教材的特点，精心准备，大胆设计，增加了“为什么要学习微积分”、“本人学习微积分的经历”和“怎样学习微积分”等内容，以期为学生学习“导数及其应用”打好思想基础。但我对微积分的广泛应用还显得准备不足。

　　课中，我察言观色，发现学生对“什么是微积分”这种比较抽象的概念和表述比较茫然，只能点到为止；学生对“微积分的历史”，对牛顿和莱布尼茨的介绍很感兴趣，于是就比预设适当地多讲了点内容；学生对“为什么要学习微积分”是在教师的启发之下体悟出来的，因此重点讲了“自身的发展也需要微积分”；学生对教师“本人学习微积分的经历”出乎预料的专注和在意，看来这种教学资源的作用不可低估；学生对“怎样学习微积分”异常活跃，使教师能够水到渠成地进行归纳和板书。

　　课后，我对学生进行了解，听到这样的声音：“这节课我们之所以很投入，是因为我们喜欢听这些历史故事，特别是老师本人学习微积分的经历对我们的触动很大，令人钦佩，很受鼓舞。其实我们也想学好数学，就是缺乏一种自信，缺少一种动力，缺少一种追求。在本章的学习中我们也要像老师那样锻炼我们的数学思维……”

　　这节课是为学习微积分的初步内容“导数及其应用”而进行的开场课。这是一种尝试，为了“走进微积分”，不妨先来“了解数学史”。实践表明，不但教学效果好，而且使我的教学知识有些新的生成。

　　生成之一：教师应学会捕捉教学契机

　　教学契机蕴含于教学活动之中，是教师借此进一步开展有效教学的良好机会，错过了或者没能抓住这种机会，恐怕就再难以利用，即便过后想起来再来利用，也难以达到当时的效果，正所谓机不可失，失不再来。学习“导数及其应用”，应该让学生先来了解微积分，了解数学史，这些数学史很值得了解，很有助于学生学习新知，其中蕴含很好的着丰富的数学文化和数学思想，是一种很好的教学契机，实践证明了抓住这种教学契机的效果。

　　生成之二：教师应学会利用自身资源

　　教师本身就是一种教学资源，这不仅包括教师的学识和才艺，也包括教师的经历、意志和品质；不仅包括教师身上让学生看得见的“亮点”，也包括教师身上使学生看不见的“闪光点”。这些“光亮之点”可以影响学生、照耀学生、激励学生。学生认同教师，喜欢教师，尊敬教师，就会认同教师所教的课程，喜欢教师的课，尊重科学。因此，教师应学会利用自身资源。

　　生成之三：磨刀不误砍柴工

　　俗话说得好：“磨刀不误砍柴工。”这道理似乎谁都明白，但说来容易做着难，往往是刀锋卷刃照样砍，结果是既费力气又伤神。在本课例中，学生一旦通过了解微积分的数学史而生发学习微积分的强烈愿望，还怕不能学好微积分吗？正如课堂中所进行问题探究一样，学生能够自主成功地探究问题，还怕探究的结论不会应用吗？

　　反思自己以往的教学，时有抱怨学生如何如何，却较少思考教师自身如何如何，较少考虑在教学中渗透那些能使学生树立信心、确立基点和明白道理的思想和方法。事实上，数学教师应该树立一份信心：我能教好数学；确立一个基点：掌握基本的育人方法；明白一个道理：不是为了数学而教数学。正如莱布尼茨所说：“世界上没有两片完全相同的树叶”，教学方法要因学生而异，教学效果也因教师而异。教师也应学会“站在巨人的肩上”，托起教育的希望，创造教育的奇迹。