将数学建模引入《概率统计》课堂

　　【摘要】应用型本科高校该如何有效培养符合社会需求的高质量应用型人才是一个热点问题，本文针对当前《概率统计》课程教学中存在的问题，结合其学科特点，探讨了进行以应用为导向的教学改革的必要性，并阐述了从传授知识向培养能力转变的改革途径与方法，即将数学建模引入课堂，让数学与现代数学零距离，从而拓展学生的视野、激发学习兴趣、培养学生解决实际问题的能力，最终提高教学效益。

　　【关键词】应用型人才；《概率统计》课程教改；数学建模

　　1.当前《概率统计》课程教学中存在的问题

　　《概率论与数理统计》是理工农医类及经管类学生普遍学习的一门数学基础课和必修课，虽然自改革开放以来教材内容、教学方式不断地深化改革以适应日益数学化的时代发展特征、更好地提高教学质量，但是目前它留给人们的印象仍然是“高高在上、自我陶醉”的样子，特别是对于非数学专业的学生而言，当前概率统计课程的教学效果尚未尽如人意。主要表现为：学生在完成本课程的学习之后仍然不能真正理解所学的概念、公式、定理，更难以运用其解决实际问题，从而造成一种“学无所用”的感觉。究其原因主要是：在传统教学过程中没有将理论知识与实际问题相结合，没有通过大量具有典型性、时效性的实际案例来培养学生的应用意识和应用能力，对实践创新能力的培养方面还相当欠缺。

　　2.实施以应用为导向的教学改革的必要性

　　认清《概率统计》课程目前存在的主要问题后，深感教学改革的必要性和紧迫性。但是，如何改革呢？对于非数学专业的学生设置数学课程不仅仅是为专业课服务的工具，更不是培养数学家，而是全面提高学生的数学素养。

　　现阶段，面对激烈竞争，国家产业转型升级，社会迫切需要应用型人才。国家发改委、教育部为回应这一需求共同推进了应用型高校建设。相对于研究型大学注重知识的系统性和理论性的人才培养模式，应用型本科高校应该确立“以社会需求为导向、以应用型人才培养为目标、从传授知识向培养能力转变、理论实践并重”的人才培养模式。应用型高校的教学应该秉承“学有所用、学以致用”的宗旨，培养适应社会发展并进而能服务于社会的各类人才。为此，我们的教学就必须尽量多地与社会发展接轨、与市场需求接轨。

　　《概率论与数理统计》正是一门在解决实际问题的過程中发展起来的学科，有着很强的应用性，其思想方法已经渗透到人工智能、金融、农业、医疗、军事、生物、社会等许多领域。教师在授课过程中就应该结合这些应用来开展教学，让学生了解所学知识有何用处，从而激发学习热情。更重要的是：只有围绕这些应用展开学习，才能使学生尤其是非数学专业的学生更深刻的掌握相关理论知识，从而更好地运用于实践并成长为社会需要的人才。

　　3.将数学建模思想融入应用案例的教学模式探索

　　传统的教学方法与实践应用之间的脱节，造成了学生虽然系统地学习了概率统计知识却不知道如何应用；而最能激发学生兴趣、培养应用意识和能力并使之印象深刻的则是贴近生活、与学生所学专业相关的实际问题和案例。虽然教材上也有一些应用例题和习题，但是大多资料要么内容过于理想化、要么蜻蜓点水。而数学建模则在数学知识和实际问题之间架设的一座桥梁，是弥补“理论脱离实际”这一缺陷的必由之路。因此，概率统计的教学改革可以将经典的或是与时俱进的应用问题作为案例引入到课程教学中，通过数学建模思想的融入，可以培养学生概括抽象问题的综合能力和处理不同问题的应变能力，两方面能力可进一步培养学生“以问题为导向，加强问题意识，自觉提高应用所学知识的能力”。这种将不同领域的实际问题作为案例引入到《概率统计》课程的教学模式，有助于培养学生重视应用、勇于应用、善于应用的思维和能力。由于重视应用，从而主动获取多方面的理论知识，进而获得更多实践机会，更加重视应用能力；由于善于应用，才能联系理论与实践，并形成良性的促进和循环。下面介绍两个教学案例抛砖引玉：

　　案例1古典概型与生日重合及指纹识别问题：

　　（1）生日重合的缘分有多大？

　　《红楼梦》62回中有这样一段话——探春笑道：“倒有些意思，一年十二个月，月月有几个生日。人多了，就这样巧，也有三个一日的，两个一日的……过了灯节，就是大太太和宝姐姐，他们娘儿两个遇的巧……”

　　我们可以利用古典概型来计算上述探春说到的“遇的巧”的概率，即个人中至少有两个人生日相同的概率。

　　①模型假设：生日相同是指出生的月及日都相同即可（不含年份），个人中无双胞胎，一年有天（或）。

　　②模型建立：由古典概型及排列组合的理论可计算出个人的生日全不相同的概率为：

　　那么个人中至少有两个人生日相同的概率就为

　　③模型求解：以为例，取不同值时的近似值计算结果如表1所示。可见，在60个人的群体中至少有两个人生日相同的概率高达99%，我们还可以进一步计算，在多于23人的群体中，至少有两个人生日相同的概率会超过50%。

　　（2）指纹是唯一的吗？

　　指纹作为证据之首，以其特征的唯一性、稳定性得到了世界法庭科学的公认，在全世界的司法审判中一直受到倚重。然而，这个实行了近百年的起诉工具却于2002年在美国受到了挑战：费城法院

　　的资深法官路易斯.H.波拉克2002年1月6日做出了一项破天荒的判决，宣布检察官在一宗谋杀案中呈送的指纹证据因缺乏科学性而不予采纳。人们开始对指纹作为证据提出质疑：用小小的指纹判定“我是谁”科学吗？是否每一个人都拥有独特的指纹？两个不同的人的指纹被认定成同一个指纹的可能性有多大？2004年美国大学生数学建模竞赛（MCM2004）的A题就引导大学学生们关注了这一热点问题。为了说明指纹的唯一性，我们希望得到任意两个人的指纹都不同，或者任意两个人的指纹相同的概率非常小、几乎为零的结论，这可以仿照生日重合问题的方法来解决。

　　①模型假设：指纹识别主要通过比较特征点来完成；特征点可能分布在指纹的最多个位置上，每个位置至多一个特征点，所有特征点的分布均匀且相互獨立；具有相同细节特征的两个指纹是相同的。

　　②模型建立：类似生日重合问题，设不同指纹的总数为，那么在一个人组成的集合中至少有两个人指纹相同的概率为

　　③模型求解：如果采用上面的模型来解释指纹的唯一性，我们需要解决两个问题，即不同指纹的总数量及所研究群体的人数。其中后者的确定比较简单，据资料显示，地球上生活过的人口总数估计为人，由于人数仍在不断增加，可按人计算，大约占总数6%的人正生活在地球上，可取一定的数量级或具体的人数皆可；至于前者的确定则相对复杂一点。

　　为了讨论问题的方便，我们先不考虑特征点的方向，即认为特征点没有方向差异，那么一个指纹就由特征点的数目及其位置分布所决定了。具体来说，如果特征点可能分布在指纹的最多个位置上且每个位置至多一个特征点、所有特征点的分布相互独立，那么个特征点就有种可能的分布方式，即由个特征点所决定的不同指纹的数目恰为组合数，因此不同指纹的总数就为

　　如果进一步考虑特征点的方向，比如逆脊和顺脊两个方向，那么由个特征点所决定的不同指纹的数目为，此时不同指纹的总数为：

　　要是考虑更多的方向，比如个，那么对应的不同指纹的总数则为：

　　经估算，特征点分布的可能位置总数的取值在1100～1600个，但是由于计算机的限制，当时，计算比较困难。不妨考虑计算其中一部分的和，即尽管指纹上的特征点个数最多可达个，但是我们只考虑原式的前面项的和。显然，如果据此能说明指纹出现重合的概率非常小，那么当指纹总数增加时就更能达到预期效果了。由于指纹识别过程中建立指纹特征模板时，特征点的数目常达100～200个，因此这里取（也可取小于的其他正整数）。

　　下面我们考虑特征点的不同方向，即取或，分别记

　　在分别取1100及1600时，计算对应的部分指纹数目和如表2所示。

　　接下来计算不同群体规模所对应的指纹重合概率和，如表3所示，可以看到，指纹重合概率的最大数量级为，这是一个非常小的数。于是，我们可以得出结论：任意两个人的指纹是不同的，即指纹具有唯一性。

　　4.结束语

　　总之，为了适应应用型本科高校的建设，秉承“学有所用、学以致用”的教学宗旨，《概率统计》课程的教学应该根据学生的具体情况，适当地调整教学内容及模式，努力挖掘理论知识中能与生产、生活实际较好结合的思想方法和模型，让数学与现代生活零距离，通过充实大量贴近生活、与学生所学专业相关的实际案例，拓展学生的视野，激发学生的学习兴趣，提高学生应用概率统计知识解决实际问题的意识和能力。

　　作者简介：赵春燕（1983-），女，讲师，主要从事应用统计、数学建模及教学法的研究。