逆向思维在初中数学解题教学中的应用分析

　　【摘要】相比小學数学，初中数学的整体难度有了明显提升。如果学生们仍然按照传统思维进行解题，自然会遇到诸多困难。因此，教师就需要引导学生应用逆向思维，转变思路，提升解题效率。本篇文章主要描述了在进行数学解题教学的过程中，引导学生应用逆向思维的具体方法，并通过相关案例展开说明。

　　【关键词】逆向思维；初中数学；解题教学；应用；分析

　　对于逆向思维而言，主要是指将原有的常规思维完全颠倒过来，从已有思路出发，反向展开思考，寻找解题方案。数学题目本身有着很强的逻辑性，各个环节之间存在联系。如果一直应用常规思路，在某些题目中就会受挫。因此就需要采取逆向思维的方式，提升解题效率。

　　一、从结论入手处理几何题目

　　（一）基本概念分析

　　在对几何题证明的时候，无论其复杂还是简单，通常都需要从两个方面入手。其一是从现有已知条件入手，经过推理之后，思考能够获得什么结论。其二是从待证结论入手，思考为了达成这一结论，具体需要哪些条件，而当前有哪些条件。如果发现有某个条件缺失，就能得出该条件就是需要从现有条件推算出的最终结论。

　　（二）具体案例分析

　　例如：“如下图所示，已知在三角形ABC中，D和E都是AC边上的点，AD和AB相等，BD平分∠EBC，试说明：AD2=AE·AC。”

　　为了能够对AD2=AE·AC这一结论展开证明，需要从三角形的相似性入手。基于AD2=AE·AC，将其变为=。从题目中的基本条件可以得知AD和AB相等，因此可以将=直接转变成=。从这个比例算式可以了解，为了完成证明，必须从三角形ABE和三角形ABC出发，对二者的相似性予以证明。这其中∠A属于条件中这两个三角形共有的角，参照相似性的判断方式，并根据现有条件，仅仅只需要证明另一组对角完全相等就行。参照条件AD=AB，因此说明∠ABD和∠ADB完全相等，也就说明∠ABE+∠EBD和∠C+∠DBC完全相等。同时∠EBD和∠DBC一样，可以推算出∠ABE等于∠C，继而证明另外一对角是完全相等的。

　　根据以上分析能够了解，在对几何证明题处理的过程中，可以尝试从结论方面入手。但在书写的时候，可以从题目中提供的条件入手，推算出需要进行证明的结论。

　　二、依靠反证法处理几何题目

　　处理几何题目我们需要具体案例分析，例如：“在左下图，已知点D和点E分别是AB和AC上面的点，同时BE和CD相交于O点。如果OB=OC，且AD=AE，试说明OD=OE。”

　　尽管该题目看似难度不大，若是选择从正面入手进行处理，需要考虑的事情非常多，因此难度很大：先画一个辅助圆，经过A、B、C三个点，之后再利用三角形特有的相似性，以此完成处理。但是，若从结论部分出发，依靠反证法的方式，难度就很低。

　　证明：假设OD和OE不相等。

　　其一，如果OD小于OE，在线段OE上进行截取，且OF和OD相等，并将DE、DF以及CF全部连接在一起，具体如右上图。

　　基于图像可以很容易证明，三角形BOD全等于三角形COF，从中得知∠BDO和∠CFO相等，同时∠CFO大于∠3，从中推断出∠BDO大于∠3。

　　根据∠EDO>∠1，同时∠1和∠2相等，∠2比∠DEO小，得出结论是∠EDO比∠DEO大。

　　此时说明∠BDO+∠EDO>∠3+∠DEO，进而推出∠BDE>∠CED。

　　此外，∠BDE和∠ADE为互补关系，同时∠CDE和∠AED也是互补关系，说明∠ADE<∠AED，并得出AE小于AD。显然，这一结果和题目条件AD和AE相等存在矛盾，所以该假设并不成立。

　　其二，如果OD大于OE，按照相同的方法，可以推断出AD>AE，同样和题目条件中AE和AD相等完全不符，因此该假设并不成立。

　　通过将以上两个假设结合在一起，说明OD和OE完全相等。

　　通过应用反证法对几何命题展开证明，先从不成立这一方面入手进行论证，通过已知条件、定理以及公理，说明该结果不成立，进而完成结论证明。

　　三、依靠顺序倒换处理几何题目

　　（一）基本概念分析

　　在进行数学题目思考的时候，很多学生往往会受到固定思维的影响，总是按照相同的步骤，完成解答。由于经过多次练习之后，自身思维模式已经定型，通常很难转换。诸如在计量时，通常会选择“从上到下”或者“从左到右”的顺序。然而在处理数学题目的时候，如果可以打破固有顺序，将其颠倒过来，进而能够提升解答的实际效果。

　　（二）具体案例分析

　　例如：“小王同学的妈妈买了一些汽水。第一天，一家人一共喝了一半零半瓶；第二天，家里有客人来，大家喝了剩余的一半零半瓶；第三天，小王感觉很渴，又喝了剩余的一半零半瓶。经过三天，这些汽水都喝完了，那么妈妈最开始买了多少瓶？”

　　在处理该题目的时候，如果直接计算，由于涉及的数量关系较为复杂，自然难度较大。诸如列方程。假设最开始买的汽水一共是X瓶，第一天喝的数量为（+），第二天一共喝了[（x--）+]，第三天……。

　　但是如果选择反过来思考，假设第三天在喝汽水之前，实际剩余了x瓶汽水，则-为0，通过计算得出x为1，这是第二天喝完之后，剩余的汽水数量。

　　之后再次假设，在第二天喝汽水之前，实际剩余了y瓶汽水，通过算式-=1，计算出y的数值是3，这是第一天喝完之后，剩余的汽水数量。

　　最后再次假设，在第一天喝汽水之前，实际剩余了z瓶汽水，通过算式-=3，得出z的数值是7，这就是妈妈实际购买的汽水数量。

　　尽管都是列方程进行计算，但通过将题目条件完成拆分，以最终结论作为基础，逐步予以解答，实际难度就会有所降低。因此，反证法在面对此类题目时，效果非常好。

　　四、结束语

　　综上所述，通过本文中提供的三个案例中发现，通过应用逆向思维，能够有效完成解题。当然，在初中数学之中，可以应用的逆向思维仍然还有很多，诸如在整式乘法之中的完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2就可以和因式分解中完全平方公式a2+2ab+b2=（a+b）2相互转换。二者原本就是同一个公式，但只是从不同的方向入手，互相成为了彼此的条件和结论。由此可以说明，在采用了逆向思想之后，不但效率非常高，而且还有着较高正确率。因此，未来学生们在面对数学题目时，不要盲目从正面入手，可以尝试从反方向入手，以此解答。这样一来，自身思维能力就会得到进一步增强，为其个人发展奠定了良好基础。