一道函数试题的析题的解决
来源：UC论文网2015-11-15 17:24
摘要：
把数学活动、数学实验、数学探究、数学建模作为研究性学习的重要形式,是课标课程改革的靓点.它旨在丰富学生的数学学习方式,倡导自主探究、独立思考、动手实践、合作学习、阅读
把“数学活动”、“数学实验”、“数学探究”、“数学建模”作为研究性学习的重要形式,是课标课程改革的靓点.它旨在丰富学生的数学学习方式,倡导自主探究、独立思考、动手实践、合作学习、阅读自学等,并将其纳入课程计划.为此,《普通高中数学课程标准(实验)》明确规定:高中数学课程应提供基本内容的实际背景,反映数学的应用价值,开展“数学建模”的学习活动.
用数学语言对实际现象进行描述和解释的过程就是构建数学模型(简称数学建模).我们可以用下面的流程图加以说明:
这里,ABC→→是学生的难点,CD→学生相对熟悉,DE→是发现错误、调整偏差的过程,而EA→则是不可忽略的,数学建模解决实际问题往往不是一蹴而就,有时需要修改重构模型,有时要从构建的多个模型中进行遴选优化.数学建模的各个环节都有着不同的思维训练的价值.因此在教学设计时应充分发挥其功能.
1 精选例题,创设情境
研读教材,精选课本例题,创设情境,开展数学建模.宋朝理学家朱熹曾说过:“观书,先须熟读,使其言皆若出于吾之口;继而精思,使其若出于吾之心;然后有所得耳.”这就是说教师要通过研读教材,理解课标课程的数学教学理念,把数学知识技能、数学思考方法、数学实际应用、数学文化价值的教学有机地融为一体.
例1 树顶A离地面a米,树上另有一点B离地面b米,在地面的C处看此树上的A,B两点,离此树多远时视角最大?
这是高中课标课程实验教科书上的一道习题(此处解答略).该问题反映了实际生活中常见的最大视角问题,也可以作为数学建模教学的基本背景.
问题1 足球比赛场地宽m米,球门宽n米,在比赛中攻方球员带球沿边线推进,如图1所示.试问该球员在距守方底线多远处起脚射门,能使命中角度最大?
图1 足球攻方射门的数学模型
问题2 国际曲棍球比赛标准场地的长为91.4m,宽为55m.球门宽AB 3.66m,如图2所示.射门必须在射门弧(由弧?PQ、线段QR和弧?RL围成)内进行.其中,?PQ是以一侧门柱A为圆心,以14.63m为半径的1/4圆,同样,?RL是以另一侧门柱B为圆心,以14.63m为半径的1/4圆.请问,曲棍球场上哪些点属于射门最佳点,即命中率较高的点?哪些点命中率相同?
图3 虚拟出的两种物质的溶解度与温度关系的函数图象
从化学的角度,我们还可以用勒夏特列原理对上述解答给出解释.该原理指出:如果改变影响平衡的条件之一(如温度、压强以及参加反应的化学物质的浓度),平衡将向着能够减弱这种改变的方向移动.当物质M,N的水溶液处于饱和状态时,可以视为在一定温度下的一种平衡.当温度升高(或降低)时,平衡将向能够减弱这种改变的方向移动,即饱和溶液的饱和程度降低(或升高).因此,物质M的溶解度降低(小于10克),物质N的溶解度升高(大于10克),问题的答案不言而喻是B.
化学中的勒夏特列原理与物理学中的楞次定律何其相似.楞次定律指出,闭合电路中感应电流的方向,总是使得它激发的磁场来阻碍引起感应电流的磁通量的变化(简言之,来时拒,去时留).“众里寻他千百度,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处”.上述的原理和定律的数学模型就是图象的平移.大家熟悉三角函数平移的法则:“左加右减,上加下减”.这个法则指出:当改变( )yf x=中x,y的值时,图象向着能够减弱这种改变的方向移动.具体地说,对于( )yf x=,在x上加上或者减去几个单位,它的图象就沿着x轴向左(减小的方向)或向右(增大的方向)平移几个单位;同理,在y上加上或者减去几个单位,它的图象就沿着y轴向下(减少的方向)或向上(增大的方向)平移几个单位,反之亦然.
课标课程十分重视学科间纵横联系,教材编写者的良苦用心,旨在提醒教师要探究数学与其他学科之间千丝万缕的联系,各学科都在用不同的方式言说着同一个大千世界,数学建模是它们之间沟通的桥梁之一.当我们面对现实生活中 “只缘身在此山中”的困惑时,数学建模给我们带来“柳暗花明又一村”的顿悟,大有“吹尽黄沙始见金”的发现和“千树万树梨花开”的惊喜.
3 重在理解,灵活运用
用数学建模解决实际问题对学生的阅读理解能力有较高的要求.在精细阅读的基础上,要通过观察、分析、筛选、区分获得的信息,洞察实际问题的结构,准确、恰当地将文字语言向数学语言转化.这种转化过程就是把实际问题描述得具体、直白、但不简约.有些会引出歧义的文字,翻译成指意简明、书写简练、含义深刻的符号语言,或者是表象直观、易于思辨的图形语言.这个过程就是灵活运用数学知识技能、数学思想方法建立可并求解的数学模型的过程.
例3 通过采购经理指数(简称PMI)可以及时监测和预测经济与商业活动中出现的问题和趋势,使政府对宏观经济有更好的把握.一般而言,PMI在50以上,反映经济总体扩张;接近60时,有经济过热的风险;低于50,反映经济衰退;接[lunwen.1KEjian .com 第一论文 网]近40时,有经济萧条的忧虑.
从国家统计局的经济统计分析资料,截取我国2000年1月份到10月份的PMI数据如下表:
试根据以上数据预测当年我们11月份的PMI.
分析 本题以实际问题为载体,给出新信息情境,意在培养学生的阅读理解能力和知识迁移能力.
首先,要引导学生将表格中直观数据的变化规律刻画出来,其基本的数学模型就是函数.其次,结合教材相关内容,回顾建立函数模型解决实际问题的六个基本步骤,用手工描点或借助excel在电脑上画出散点图.再次,引导学生观察和讨论散点图,寻找拟合程度最佳的函数.在备选的对数函数、幂函数、分段函数中,根据散点变化规律和数据增长比较平缓的特点,以对数函数模型为首选.第四,在应用待定系数法确定对数函数表达式时,会随着选取的散点不同而不同.经过甄别,在计算机的帮助下,取3.8ln46.6yx=+来刻画PMI与月份x的函数关系.
根据函数模型,可以预测11月份的PMI.在分析经过几个月是否会出现经济过热的现象时,还要借助二分法求解方程近似解的方法.
可以看出,在建立实际问题的数学模型的过程中,首先要突破的关键是将描述现实问题的文字语言翻译成数学语言.也不难发现,在问题解决过程中,教材的知识点进一步显性化、结构化、系统化,有利于学生新知识网络的意义建构.
例4 “今日说法”栏目报道,某公司利用传销手段诈骗投资人,谎称:“每位投资者投资1股460元,买一件商品(价值10元),半年后可得到540元的回报.每一期到期限后若继续投资,投资股数是上一期的2倍.”
某退休工人开始投资1股,以后不断地追加投资.但在投资到32股时,被告知该公司破产.
试问:(1)假如该退休工人在前一期停止投资,他的投资回报率是多少?(2)传销最终要失败的,试估算该退休工人损失的金额.
分析 这是一个揭露传销危害性的问题,“今日说法”的编辑以通俗直白简约的语言描述了传销诈骗的事实.在构建数学模型时,要深度剖析,通过表格将数据显性化.投资1股460元,半年后可得540元.回报率 =(回报金额—投资额)/投资额.因此投资1股的回报率是(540-450)/450×100%=20%.由于每一期投资的股数是上一期投资股数的2倍,因此我们可以算出从第二期开始以后各期追加的投资额和回报率.如下表:
分析表中数据,在不断注资投入时,期末回报率显然可以刺激获利心态,但回报率的增幅却在逐渐减小.如果退休工人在投资16股时果断中止投资且公司能如约兑现,尚可得高回报率47.7%.但是高回报率必有高风险性和高欺骗性,在传销人员游说和投资心理驱动下,到第6期时,退休工人累计投资达到11610元,公司倒闭人去楼空,11610元血本无归损失惨重,教训深刻,发人警醒.
从构建数学模型解决实际问题的过程看,期间经历的阅读理解、推理演算、抽象思维等数学活动,实质上是现实问题的文字语言与数学语言各种形态间的转换互译的过程,用合理、准确、简洁的数学语言描述现实问题的内容是数学建模的关键,也为解决问题的数学思维铺平道路.因此,在数学建模教学中,传统优势要弘扬,教学理念要更新,思想认识要到位,日常教学要渗透,有效训练要落实.
数学模型是数学思维的支撑点,也是数学知识的附着点,也是数学应用的突破点.数学模型的建构过程是遵循先直观后逻辑的顺序进行的,要用逻辑检验、驾驭数学直觉.数学教学中,对教材中数学模型的理解与建构要有足够的重视,它不仅承载着数学信息,也是数学应用的基本途径.因此,我们要结合学生认知水平循序渐进地开展数学模型的理解、建构与应用的教学活动.学生有比较丰富的基础模型作为支撑,才能在合情推理、逻辑推理中构建解决实际问题的数学模型.作为课改的实践者,我们要纠正认识上的偏颇,精心设计数学建模活动,丰富学生的学习方式,使之成为有意义的接受式学习的补充,成为改变学生学习方式的重要途径.
用数学语言对实际现象进行描述和解释的过程就是构建数学模型(简称数学建模).我们可以用下面的流程图加以说明:
这里,ABC→→是学生的难点,CD→学生相对熟悉,DE→是发现错误、调整偏差的过程,而EA→则是不可忽略的,数学建模解决实际问题往往不是一蹴而就,有时需要修改重构模型,有时要从构建的多个模型中进行遴选优化.数学建模的各个环节都有着不同的思维训练的价值.因此在教学设计时应充分发挥其功能.
1 精选例题,创设情境
研读教材,精选课本例题,创设情境,开展数学建模.宋朝理学家朱熹曾说过:“观书,先须熟读,使其言皆若出于吾之口;继而精思,使其若出于吾之心;然后有所得耳.”这就是说教师要通过研读教材,理解课标课程的数学教学理念,把数学知识技能、数学思考方法、数学实际应用、数学文化价值的教学有机地融为一体.
例1 树顶A离地面a米,树上另有一点B离地面b米,在地面的C处看此树上的A,B两点,离此树多远时视角最大?
这是高中课标课程实验教科书上的一道习题(此处解答略).该问题反映了实际生活中常见的最大视角问题,也可以作为数学建模教学的基本背景.
问题1 足球比赛场地宽m米,球门宽n米,在比赛中攻方球员带球沿边线推进,如图1所示.试问该球员在距守方底线多远处起脚射门,能使命中角度最大?
图1 足球攻方射门的数学模型
问题2 国际曲棍球比赛标准场地的长为91.4m,宽为55m.球门宽AB 3.66m,如图2所示.射门必须在射门弧(由弧?PQ、线段QR和弧?RL围成)内进行.其中,?PQ是以一侧门柱A为圆心,以14.63m为半径的1/4圆,同样,?RL是以另一侧门柱B为圆心,以14.63m为半径的1/4圆.请问,曲棍球场上哪些点属于射门最佳点,即命中率较高的点?哪些点命中率相同?
图3 虚拟出的两种物质的溶解度与温度关系的函数图象
从化学的角度,我们还可以用勒夏特列原理对上述解答给出解释.该原理指出:如果改变影响平衡的条件之一(如温度、压强以及参加反应的化学物质的浓度),平衡将向着能够减弱这种改变的方向移动.当物质M,N的水溶液处于饱和状态时,可以视为在一定温度下的一种平衡.当温度升高(或降低)时,平衡将向能够减弱这种改变的方向移动,即饱和溶液的饱和程度降低(或升高).因此,物质M的溶解度降低(小于10克),物质N的溶解度升高(大于10克),问题的答案不言而喻是B.
化学中的勒夏特列原理与物理学中的楞次定律何其相似.楞次定律指出,闭合电路中感应电流的方向,总是使得它激发的磁场来阻碍引起感应电流的磁通量的变化(简言之,来时拒,去时留).“众里寻他千百度,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处”.上述的原理和定律的数学模型就是图象的平移.大家熟悉三角函数平移的法则:“左加右减,上加下减”.这个法则指出:当改变( )yf x=中x,y的值时,图象向着能够减弱这种改变的方向移动.具体地说,对于( )yf x=,在x上加上或者减去几个单位,它的图象就沿着x轴向左(减小的方向)或向右(增大的方向)平移几个单位;同理,在y上加上或者减去几个单位,它的图象就沿着y轴向下(减少的方向)或向上(增大的方向)平移几个单位,反之亦然.
课标课程十分重视学科间纵横联系,教材编写者的良苦用心,旨在提醒教师要探究数学与其他学科之间千丝万缕的联系,各学科都在用不同的方式言说着同一个大千世界,数学建模是它们之间沟通的桥梁之一.当我们面对现实生活中 “只缘身在此山中”的困惑时,数学建模给我们带来“柳暗花明又一村”的顿悟,大有“吹尽黄沙始见金”的发现和“千树万树梨花开”的惊喜.
3 重在理解,灵活运用
用数学建模解决实际问题对学生的阅读理解能力有较高的要求.在精细阅读的基础上,要通过观察、分析、筛选、区分获得的信息,洞察实际问题的结构,准确、恰当地将文字语言向数学语言转化.这种转化过程就是把实际问题描述得具体、直白、但不简约.有些会引出歧义的文字,翻译成指意简明、书写简练、含义深刻的符号语言,或者是表象直观、易于思辨的图形语言.这个过程就是灵活运用数学知识技能、数学思想方法建立可并求解的数学模型的过程.
例3 通过采购经理指数(简称PMI)可以及时监测和预测经济与商业活动中出现的问题和趋势,使政府对宏观经济有更好的把握.一般而言,PMI在50以上,反映经济总体扩张;接近60时,有经济过热的风险;低于50,反映经济衰退;接[lunwen.1KEjian .com 第一论文 网]近40时,有经济萧条的忧虑.
从国家统计局的经济统计分析资料,截取我国2000年1月份到10月份的PMI数据如下表:
试根据以上数据预测当年我们11月份的PMI.
分析 本题以实际问题为载体,给出新信息情境,意在培养学生的阅读理解能力和知识迁移能力.
首先,要引导学生将表格中直观数据的变化规律刻画出来,其基本的数学模型就是函数.其次,结合教材相关内容,回顾建立函数模型解决实际问题的六个基本步骤,用手工描点或借助excel在电脑上画出散点图.再次,引导学生观察和讨论散点图,寻找拟合程度最佳的函数.在备选的对数函数、幂函数、分段函数中,根据散点变化规律和数据增长比较平缓的特点,以对数函数模型为首选.第四,在应用待定系数法确定对数函数表达式时,会随着选取的散点不同而不同.经过甄别,在计算机的帮助下,取3.8ln46.6yx=+来刻画PMI与月份x的函数关系.
根据函数模型,可以预测11月份的PMI.在分析经过几个月是否会出现经济过热的现象时,还要借助二分法求解方程近似解的方法.
可以看出,在建立实际问题的数学模型的过程中,首先要突破的关键是将描述现实问题的文字语言翻译成数学语言.也不难发现,在问题解决过程中,教材的知识点进一步显性化、结构化、系统化,有利于学生新知识网络的意义建构.
例4 “今日说法”栏目报道,某公司利用传销手段诈骗投资人,谎称:“每位投资者投资1股460元,买一件商品(价值10元),半年后可得到540元的回报.每一期到期限后若继续投资,投资股数是上一期的2倍.”
某退休工人开始投资1股,以后不断地追加投资.但在投资到32股时,被告知该公司破产.
试问:(1)假如该退休工人在前一期停止投资,他的投资回报率是多少?(2)传销最终要失败的,试估算该退休工人损失的金额.
分析 这是一个揭露传销危害性的问题,“今日说法”的编辑以通俗直白简约的语言描述了传销诈骗的事实.在构建数学模型时,要深度剖析,通过表格将数据显性化.投资1股460元,半年后可得540元.回报率 =(回报金额—投资额)/投资额.因此投资1股的回报率是(540-450)/450×100%=20%.由于每一期投资的股数是上一期投资股数的2倍,因此我们可以算出从第二期开始以后各期追加的投资额和回报率.如下表:
分析表中数据,在不断注资投入时,期末回报率显然可以刺激获利心态,但回报率的增幅却在逐渐减小.如果退休工人在投资16股时果断中止投资且公司能如约兑现,尚可得高回报率47.7%.但是高回报率必有高风险性和高欺骗性,在传销人员游说和投资心理驱动下,到第6期时,退休工人累计投资达到11610元,公司倒闭人去楼空,11610元血本无归损失惨重,教训深刻,发人警醒.
从构建数学模型解决实际问题的过程看,期间经历的阅读理解、推理演算、抽象思维等数学活动,实质上是现实问题的文字语言与数学语言各种形态间的转换互译的过程,用合理、准确、简洁的数学语言描述现实问题的内容是数学建模的关键,也为解决问题的数学思维铺平道路.因此,在数学建模教学中,传统优势要弘扬,教学理念要更新,思想认识要到位,日常教学要渗透,有效训练要落实.
数学模型是数学思维的支撑点,也是数学知识的附着点,也是数学应用的突破点.数学模型的建构过程是遵循先直观后逻辑的顺序进行的,要用逻辑检验、驾驭数学直觉.数学教学中,对教材中数学模型的理解与建构要有足够的重视,它不仅承载着数学信息,也是数学应用的基本途径.因此,我们要结合学生认知水平循序渐进地开展数学模型的理解、建构与应用的教学活动.学生有比较丰富的基础模型作为支撑,才能在合情推理、逻辑推理中构建解决实际问题的数学模型.作为课改的实践者,我们要纠正认识上的偏颇,精心设计数学建模活动,丰富学生的学习方式,使之成为有意义的接受式学习的补充,成为改变学生学习方式的重要途径.
