中美初中数学教材中问题比较的异同
来源：UC论文网2015-11-15 17:39
摘要：
众所周知，中美数学教育在教学目标、理念、方法上都有巨大差异.事实上，教材最能体现国家教学大纲或标准，它是教师教学和学生学习的依据，因此，比较教材的差异是十分重要的
众所周知，中美数学教育在教学目标、理念、方法上都有巨大差异.事实上，教材最能体现国家教学大纲或标准，它是教师教学和学生学习的依据，因此，比较教材的差异是十分重要的.文[1]聚焦实施课程中的问题表征，对教材中的所有问题进行了合理的分类，在此基础上做了全面分析和细致比较，从而可以清晰地看到两种教材的差异，特别是文中建立的分析框架值得做教材比较的研究人员借鉴.以下将按研究背景、问题、方法和结果介绍给大家.
一、研究的背景及问题
教材在教师教学和学生学习中所起的作用，已得到国际教育界的广泛认可.近年来的跨国研究一致表明，亚洲学生的数学成就明显高于其他地区的同龄人.研究人员认为教材在教学和学习的过程中发挥了重要的作用.因此，以教材为中心的研究显得尤为重要.问题是教材间区别的主要来源之一，对于学生，解题的难度由不同类型问题出现的频率决定，所以研究者关注更多的是所碰到问题的类型.
文[1]的研究问题主要包括：（1）比较研究中国和美国数学教材中的问题是如何呈现的；（2）分析教材中问题呈现形式的相似性和差异性，并解释产生这些现象的可能原因.
二、研究方法
研究方法包括了教材的选择，概念框架及其界定，问题编码.
1.教材的选择
关于用于研究教材的选择，文[1]选择的是两国使用较为广泛的初中数学教材，中国是人民教育出版社出版的数学教材（PEP），美国为芝加哥数学计划开发的系列教材（UCSMP）.表1是7本教材的具体信息：
选定的数学教材用于中国的初中一年级和初二年级，相当于美国七年级和八年级，学生年龄约13～14岁.之所以把重点放在这个特殊的年级，主要因为初中时期是发展学生问题解决能力最重要的时期，并且问题解决的教学在初中年级比其他年级（小学和中学后）更有效.
2.概念框架
文[1]从教材分析观点下的问题定义开始，建立了一个“问题类型”的概念框架.
尽管“问题”在数学课堂中久居核心地位，但因研究者或研究目的不同，在使用时所对应的概念也不同.文[1]将研究中的核心概念“问题”定义为——需要做出决定或答案，不管解决方案是现成的还是不存在的.根据上述定义，作者将教材中的所有符合定义的问题分成了七类（见表2）.
关于这7类问题的具体界定，文[1]作者给出了如下详细的说明：
（1）常规问题和非常规问题
非常规问题是这样一种情境，问题解决者不能仅仅应用容易获得的标准算法、公式或程序就能解决问题.相比之下，常规问题是：只需要按照一定的已知算法、公式或程序，就可得到解答的问题.更具体些，常规问题它在被给出之前，课文中已经出现了可以解决这个问题的特定方法.
（2）传统问题和非传统问题
在这项研究中，非传统问题包括4个问题子类.第一个子类是提问式问题，需要学生使用给定的信息来创造问题.第二子类是技巧型问题，需要学生去参与能提升创造力的数学.第三子类是项目问题，它是包括下列一个或者多个的任务或任务系列：收集数据，观察，查阅资料，识别，测量，分析，确定模式或关系，绘图及交流，此类问题通常需要大量的时间去完成.最后一类是写作问题，它要求学生通过写作来表达自己的想法等.通过学生的写作，教师可得到关于学生学习和自身教学的一些有用信息.表3给出了非传统问题4个分类的样例.与非传统问题相对的就是传统问题.
（3）开放问题和封闭问题
开放问题是有多个或非常多个正确答案的问题.相对的封闭问题就只有一个答案，不管求得答案的方式有多少种.它强调了问题最终答案的开放性，而不是求解的方式.
（4）应用问题和非应用问题
非应用问题是指不与日常生活和现实世界相关的一种情境，相反地，应用问题是在现实生活情境之下或与之相关的问题，值得注意的是，此处的现实生活情境不只局限于学生的日常生活，而是指更一般意义上的生活情境.文[1]对应用问题又划分了2个子类，一类是虚构的应用问题（FAP），其条件和数据是由教科书作者虚构的；另一类是正宗的应用问题（AAP），它的条件和数据是学生自己从他们的日常生活中收集得到.FAP例子：三个铃分别每8分钟、15分钟和24分钟响一次，如果在下午3点钟的时候它们同时响起，那么它们下一个同时响的时间是？AAP例子：你能将报纸页面折叠多少次？解释得到你答案的原因.
（5）单步问题和多步问题
如果一个问题，只需要直接一步运算就可以解决，那么被定义为单步问题.否则，就称之为多步问题.
（6）足够的数据问题，多余的数据问题和数据不足的问题
如果一个问题包含足够多解决问题的信息或条件，那么它被编码为一个多余数据的问题；如果问题提供的信息根本不够来得到答案，并且问题解决者既不能期望也不可能去补充缺少的信息，那么这样的问题被认为是数据不足的问题；其余的问题中，里面的信息刚好足够问题解决者解决这个问题，这样的问题被认为是足够的数据问题.
（7）纯数学形式的问题、口头形式的问题、可视化的问题、组合形式的问题
这种分类是基于这样一种问题表征形式，可以同时描述问题情境的设置和数据表现.如果问题的题干只有数学表达式，那么问题就被归类为“以纯数学形式呈现的问题”.如果题干完全是口头文字形式，即仅有书面语，那么问题将被归为“口头形式的问题”.如果题干由数字、图片、图表、表格、图表（示意图）、地图等简单组成，这一类问题归为“可视化的问题”.其余的就是“组合形式的问题”，它由上述2种或以上形式组合出现.
利用上述概念框架，文[1]作者对中美教材中的每个问题都做了归类和编码.为了保证编码的整体准确性，文[1]作者先单独选择2个章节，再和其他学者分别对其编码，然后对两组编码做可靠性检验，即计算两者的组内相关系数（ICC），结果显示它们的信度范围在0.8～1.00之间，平均值为0.94.由此可见，文[1]的编码结果是相当可靠的.
三、结果
文[1]作者按照建立的概念框架，详细分析和比较了两国教材中的问题后，得到一些重要的结论.
整体上：（1）在习题总数上，美国比中国多很多（中国6 850，美国13 286）；（2）美国教材中例题与练习题之比高于中国（中国7∶1，美国10∶1）.中美教材都提供一个很好的学习环境，让学生有机会去经历解决他们自身周围的问题.
七类问题比较结果：
（1）常规问题和传统问题占绝大部分.对非传统问题，相比中国，美国不仅数量大，而且种类更多，在分布上也更均衡，见表4.
（2）中美教材中的问题主要都是封闭式的（中国98.1%，美国93.4%）.中美学生在面临开放性问题时的表现几乎一致，绝大多数学生只能给出一个答案，并且都集中在同一个答案上（中国58%，美国86%）.
（3）大多数的问题与现实世界情形没有联系.在中国教材中这点更加明显，真正应用问题所占的百分比仅为1%（总数是6 850），美国教材中则有7.7%.范良火（Fan，1999）认为，这与两国的文化差异有关，美国人的价值观相比中国更实际和功利，因此教材中的问题多有真实背景.
（4）中国教材中的问题比美国的更有挑战性.因为美国教材的问题有63%以上仅需一步，远大于中国的52%.许多美国学生对这类问题，都只会尝试将题中的数字简单做一次运算.
（5）中美教材中大多数问题都提供了刚好足够的信息.中国教材的6 850个问题里，15个问题的信息有多余，1个问题信息不足.而美国教材的13 286个问题中，对应的问题数为264和4.这就要求我们在解决问题时，需要判断涉及的数据是否是必需的.
（6）两国问题的呈现形式多样，但绝大多数是符号（中国86.5%，美国67.5%）.表5列出了两国教材系列问题的不同呈现形式分布.
包括可视化信息的所有问题（既包含仅有可视化信息的问题，又包含组合形式中含可视化信息的问题），美国的教材中这种类型为31.2%，中国为13.5%.美国的学生更喜欢与视觉相关的模式.另外，美国教材中问题的呈现形式分布更均衡，见表6.
四、启示
我国学生的基本功很扎实，记忆能力很强，数学水平也相当高，如上海学生在2009年PISA测试中数学素养排名第一.但是在这些“优势”的背后，我们也要看到，中国学生往往书本知识掌握得很好，但是沟通和实践能力还比较缺乏[2]，学生平时的学习就是做大量的习题.诚然，做题对基础知识的掌握有一定的作用，但是一味强调做题的数量，似乎并没有太大意义.按照文[1]的框架，所有的问题都可以做多种归类，也就是说很多问题是同类的.那么这样归类之后，我们是不是可以对习题做精简，做同样多类型的题目，但是数量却少很多呢？我们相信，无论对教师还是学生，都可减轻很多任务.
其次，对教材本身来说，笔者认为：中国的教材需要有更新颖和非传统的问题类型以及更真实的应用问题.相比之下，美国教材中需要多步骤求解，和信息多余或不足的问题类型很多.美国的数学教材比较注重数学与生活的联系，这点我们可以借鉴：在教材中加入更多的综合性问题.学生在探索这些综合问题的过程中，可以不断发展自己解决问题的能力等.由于问题的本性会因教师课堂中使用方式的不同而变化，因而课堂中实际实施的与教材所预期的课程之间会存在差距.因此对教材的分析，不仅有益于学生的学习，而且对教师合理使用教材也是很有意义的.
文[1]的研究对象是中美初中阶段，但它所提供的问题分类框架很有价值，对于大规模的教材比较，我们也能借用这个框架，选择其中的一类或几类问题，通过比例或因素来进行比较研究.至于问题的分类是否还可以扩充，比如与大学数学的联系等，还有待于深入研究.
一、研究的背景及问题
教材在教师教学和学生学习中所起的作用，已得到国际教育界的广泛认可.近年来的跨国研究一致表明，亚洲学生的数学成就明显高于其他地区的同龄人.研究人员认为教材在教学和学习的过程中发挥了重要的作用.因此，以教材为中心的研究显得尤为重要.问题是教材间区别的主要来源之一，对于学生，解题的难度由不同类型问题出现的频率决定，所以研究者关注更多的是所碰到问题的类型.
文[1]的研究问题主要包括：（1）比较研究中国和美国数学教材中的问题是如何呈现的；（2）分析教材中问题呈现形式的相似性和差异性，并解释产生这些现象的可能原因.
二、研究方法
研究方法包括了教材的选择，概念框架及其界定，问题编码.
1.教材的选择
关于用于研究教材的选择，文[1]选择的是两国使用较为广泛的初中数学教材，中国是人民教育出版社出版的数学教材（PEP），美国为芝加哥数学计划开发的系列教材（UCSMP）.表1是7本教材的具体信息：
选定的数学教材用于中国的初中一年级和初二年级，相当于美国七年级和八年级，学生年龄约13～14岁.之所以把重点放在这个特殊的年级，主要因为初中时期是发展学生问题解决能力最重要的时期，并且问题解决的教学在初中年级比其他年级（小学和中学后）更有效.
2.概念框架
文[1]从教材分析观点下的问题定义开始，建立了一个“问题类型”的概念框架.
尽管“问题”在数学课堂中久居核心地位，但因研究者或研究目的不同，在使用时所对应的概念也不同.文[1]将研究中的核心概念“问题”定义为——需要做出决定或答案，不管解决方案是现成的还是不存在的.根据上述定义，作者将教材中的所有符合定义的问题分成了七类（见表2）.
关于这7类问题的具体界定，文[1]作者给出了如下详细的说明：
（1）常规问题和非常规问题
非常规问题是这样一种情境，问题解决者不能仅仅应用容易获得的标准算法、公式或程序就能解决问题.相比之下，常规问题是：只需要按照一定的已知算法、公式或程序，就可得到解答的问题.更具体些，常规问题它在被给出之前，课文中已经出现了可以解决这个问题的特定方法.
（2）传统问题和非传统问题
在这项研究中，非传统问题包括4个问题子类.第一个子类是提问式问题，需要学生使用给定的信息来创造问题.第二子类是技巧型问题，需要学生去参与能提升创造力的数学.第三子类是项目问题，它是包括下列一个或者多个的任务或任务系列：收集数据，观察，查阅资料，识别，测量，分析，确定模式或关系，绘图及交流，此类问题通常需要大量的时间去完成.最后一类是写作问题，它要求学生通过写作来表达自己的想法等.通过学生的写作，教师可得到关于学生学习和自身教学的一些有用信息.表3给出了非传统问题4个分类的样例.与非传统问题相对的就是传统问题.
（3）开放问题和封闭问题
开放问题是有多个或非常多个正确答案的问题.相对的封闭问题就只有一个答案，不管求得答案的方式有多少种.它强调了问题最终答案的开放性，而不是求解的方式.
（4）应用问题和非应用问题
非应用问题是指不与日常生活和现实世界相关的一种情境，相反地，应用问题是在现实生活情境之下或与之相关的问题，值得注意的是，此处的现实生活情境不只局限于学生的日常生活，而是指更一般意义上的生活情境.文[1]对应用问题又划分了2个子类，一类是虚构的应用问题（FAP），其条件和数据是由教科书作者虚构的；另一类是正宗的应用问题（AAP），它的条件和数据是学生自己从他们的日常生活中收集得到.FAP例子：三个铃分别每8分钟、15分钟和24分钟响一次，如果在下午3点钟的时候它们同时响起，那么它们下一个同时响的时间是？AAP例子：你能将报纸页面折叠多少次？解释得到你答案的原因.
（5）单步问题和多步问题
如果一个问题，只需要直接一步运算就可以解决，那么被定义为单步问题.否则，就称之为多步问题.
（6）足够的数据问题，多余的数据问题和数据不足的问题
如果一个问题包含足够多解决问题的信息或条件，那么它被编码为一个多余数据的问题；如果问题提供的信息根本不够来得到答案，并且问题解决者既不能期望也不可能去补充缺少的信息，那么这样的问题被认为是数据不足的问题；其余的问题中，里面的信息刚好足够问题解决者解决这个问题，这样的问题被认为是足够的数据问题.
（7）纯数学形式的问题、口头形式的问题、可视化的问题、组合形式的问题
这种分类是基于这样一种问题表征形式，可以同时描述问题情境的设置和数据表现.如果问题的题干只有数学表达式，那么问题就被归类为“以纯数学形式呈现的问题”.如果题干完全是口头文字形式，即仅有书面语，那么问题将被归为“口头形式的问题”.如果题干由数字、图片、图表、表格、图表（示意图）、地图等简单组成，这一类问题归为“可视化的问题”.其余的就是“组合形式的问题”，它由上述2种或以上形式组合出现.
利用上述概念框架，文[1]作者对中美教材中的每个问题都做了归类和编码.为了保证编码的整体准确性，文[1]作者先单独选择2个章节，再和其他学者分别对其编码，然后对两组编码做可靠性检验，即计算两者的组内相关系数（ICC），结果显示它们的信度范围在0.8～1.00之间，平均值为0.94.由此可见，文[1]的编码结果是相当可靠的.
三、结果
文[1]作者按照建立的概念框架，详细分析和比较了两国教材中的问题后，得到一些重要的结论.
整体上：（1）在习题总数上，美国比中国多很多（中国6 850，美国13 286）；（2）美国教材中例题与练习题之比高于中国（中国7∶1，美国10∶1）.中美教材都提供一个很好的学习环境，让学生有机会去经历解决他们自身周围的问题.
七类问题比较结果：
（1）常规问题和传统问题占绝大部分.对非传统问题，相比中国，美国不仅数量大，而且种类更多，在分布上也更均衡，见表4.
（2）中美教材中的问题主要都是封闭式的（中国98.1%，美国93.4%）.中美学生在面临开放性问题时的表现几乎一致，绝大多数学生只能给出一个答案，并且都集中在同一个答案上（中国58%，美国86%）.
（3）大多数的问题与现实世界情形没有联系.在中国教材中这点更加明显，真正应用问题所占的百分比仅为1%（总数是6 850），美国教材中则有7.7%.范良火（Fan，1999）认为，这与两国的文化差异有关，美国人的价值观相比中国更实际和功利，因此教材中的问题多有真实背景.
（4）中国教材中的问题比美国的更有挑战性.因为美国教材的问题有63%以上仅需一步，远大于中国的52%.许多美国学生对这类问题，都只会尝试将题中的数字简单做一次运算.
（5）中美教材中大多数问题都提供了刚好足够的信息.中国教材的6 850个问题里，15个问题的信息有多余，1个问题信息不足.而美国教材的13 286个问题中，对应的问题数为264和4.这就要求我们在解决问题时，需要判断涉及的数据是否是必需的.
（6）两国问题的呈现形式多样，但绝大多数是符号（中国86.5%，美国67.5%）.表5列出了两国教材系列问题的不同呈现形式分布.
包括可视化信息的所有问题（既包含仅有可视化信息的问题，又包含组合形式中含可视化信息的问题），美国的教材中这种类型为31.2%，中国为13.5%.美国的学生更喜欢与视觉相关的模式.另外，美国教材中问题的呈现形式分布更均衡，见表6.
四、启示
我国学生的基本功很扎实，记忆能力很强，数学水平也相当高，如上海学生在2009年PISA测试中数学素养排名第一.但是在这些“优势”的背后，我们也要看到，中国学生往往书本知识掌握得很好，但是沟通和实践能力还比较缺乏[2]，学生平时的学习就是做大量的习题.诚然，做题对基础知识的掌握有一定的作用，但是一味强调做题的数量，似乎并没有太大意义.按照文[1]的框架，所有的问题都可以做多种归类，也就是说很多问题是同类的.那么这样归类之后，我们是不是可以对习题做精简，做同样多类型的题目，但是数量却少很多呢？我们相信，无论对教师还是学生，都可减轻很多任务.
其次，对教材本身来说，笔者认为：中国的教材需要有更新颖和非传统的问题类型以及更真实的应用问题.相比之下，美国教材中需要多步骤求解，和信息多余或不足的问题类型很多.美国的数学教材比较注重数学与生活的联系，这点我们可以借鉴：在教材中加入更多的综合性问题.学生在探索这些综合问题的过程中，可以不断发展自己解决问题的能力等.由于问题的本性会因教师课堂中使用方式的不同而变化，因而课堂中实际实施的与教材所预期的课程之间会存在差距.因此对教材的分析，不仅有益于学生的学习，而且对教师合理使用教材也是很有意义的.
文[1]的研究对象是中美初中阶段，但它所提供的问题分类框架很有价值，对于大规模的教材比较，我们也能借用这个框架，选择其中的一类或几类问题，通过比例或因素来进行比较研究.至于问题的分类是否还可以扩充，比如与大学数学的联系等，还有待于深入研究.
